倍增法

这个思路比较简单

预处理

先从根节点dfs，找到每个结点的深度和fa[i][0]（f[i][j]表示结点i的第 $2^{j}$ 级祖先）

在此过程中，同时可以确定每个结点的fa[i][j]

若1是根结点，fa[5][1] = fa[4][0] = 3，fa[5][2] = fa[3][1] = 1

可以看出 : fa[i][j] = fa[fa[i][j-1][j-1]

void dfs(int now, int fa){
	dep[now] = dep[fa] + 1;
	f[now][0] = fa;
	for(int i = 1;(1 << i) <= dep[now]; i++)
		f[now][i] = f[f[now][i-1]][i-1];
	for(int i=head[now];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(v!=fa) dfs(v,now);
	}
	return ;
}

倍增过程

假设求x，y的LCA，先把x，y跳到统一高度

之后两个点一块从大到小往上跳，只要fa[x][i] != fa[y][i]，就令x = fa[x][i]，y = fa[y][i]，最终会跳到fa值不相同的最浅层的点，fa[x][0]即LCA

inline int find(int x, int y){
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	int t = dep[x] - dep[y];
	for(int i = 20;i >= 0;i --)
		if((1 << i) & t)
			x = f[x][i];
	if(x == y) return y;
	for(int i = 20;i >= 0;i --){
		if(f[x][i] != f[y][i]){
			x = f[x][i];
			y = f[y][i];
		}
	}
	return f[x][0];
}

板子题P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 500010
using namespace std;
int f[MAXN][30],dep[MAXN],head[MAXN],cnt=0,n,m,s;
struct node
{
	int u,v,val,next;
}edge[MAXN<<2];
void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
	edge[cnt].u=u;
	edge[cnt].v=v;
	return ;
}
void dfs(int now,int fa)
{
	dep[now]=dep[fa]+1;
	f[now][0]=fa;
	for(int i=1;(1<<i)<=dep[now];i++)
		f[now][i]=f[f[now][i-1]][i-1];
	for(int i=head[now];i;i=edge[i].next)
	{
		int v=edge[i].v;
		if(v!=fa) 
			dfs(v,now);
	}
	return ;
}
inline int find (int x,int y)
{
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	int t=dep[x]-dep[y];
	for(int i=20;i>=0;i--)
		if((t>>i)&1)
			x=f[x][i];
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])
		{
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		} 
	}
	return f[x][0];
}
int main()
{
	cin >> n >> m >> s;
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		int u,v;
		cin >> u >> v;
		add(u,v);
		add(v,u);
	}
	dfs(s,0);
	while(m--)
	{
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		cout<<find(x,y)<<endl;
	}
	return 0;	
}