前言
做毕设时的一个中间定理时，刚好要对一个正态随机变量的 cos ? X \cos X cosX 的均值、方差进行估计。其概率密度函数并不好求，但意外地发现 n n n 阶矩好估计。想了下，这个问题还挺有实际价值的，特此记录一下，以便节省后人头发。
零均值正态的n阶矩
设 X ～ N ( 0 , ? σ 2 ) X\sim \mathrm{N}\left( 0,\ \sigma ^2 \right) X～N(0,?σ2) ，令 U = cos ? X U=\cos X U=cosX ， Y = X 2 n Y=X^{2n} Y=X2n ，根据概率的换元公式：
f Y ( y ) = f X ( y 1 / 2 n ) 1 n y 1 2 n ? 1 = y 1 2 n ? 1 2 π n σ exp ? [ ? y 1 / n 2 σ 2 ] (1.1) f_Y\left( y \right) =f_X\left( y^{1/{2n}} \right) \frac{1}{n}y^{\frac{1}{2n}-1}=\frac{y^{\frac{1}{2n}-1}}{\sqrt{2\pi}n\sigma}\exp \left[ -\frac{y^{1/n}}{2\sigma ^2} \right] \tag{1.1} fY?(y)=fX?(y1/2n)n1?y2n1??1=2π?nσy2n1??1?exp[?2σ2y1/n?](1.1)
为啥这里是 1 n y 1 2 n ? 1 \frac{1}{n}y^{\frac{1}{2n}-1} n1?y2n1??1 而不是 1 2 n y 1 2 n ? 1 \frac{1}{2n}y^{\frac{1}{2n}-1} 2n1?y2n1??1 呢？是因为偶函数要乘以2
由泰勒级数 U = cos ? X = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n X 2 n ( 2 n ) ! U=\cos X=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^nX^{2n}}{\left( 2n \right) !}} U=cosX=∑n=0∞?(2n)!(?1)nX2n? ，所以
E [ U ] = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n ( 2 n ) ! μ Y n = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n ( 2 n ) ! ∫ 0 ∞ y f Y n ( y ) d y = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n ( 2 n ) ! ∫ 0 ∞ y 1 2 n 2 π n σ exp ? [ ? y 1 / n 2 σ 2 ] d y = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n ( 2 n ) ! ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 n σ 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( ? 1 ) n ( n ! ) 2 n σ 2 n = exp ? ( ? σ 2 2 ) (1.2) \begin{aligned} \mathrm{E}\left[ U \right] &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{\left( 2n \right) !}\mu _{Y_n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{\left( 2n \right) !}\int_0^{\infty}{yf_{Y_n}\left( y \right) \mathrm{d}y}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{\left( 2n \right) !}\int_0^{\infty}{\frac{y^{\frac{1}{2n}}}{\sqrt{2\pi}n\sigma}\exp \left[ -\frac{y^{1/n}}{2\sigma ^2} \right] \mathrm{d}y}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{\left( 2n \right) !}\frac{\left( 2n \right) !}{\left( n! \right) 2^n}\sigma ^{2n}}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{\left( n! \right) 2^n}\sigma ^{2n}}\\ &=\exp \left( -\frac{\sigma ^2}{2} \right)\\ \end{aligned} \tag{1.2} E[U]?=n=0∑∞?(2n)!(?1)n?μYn??=n=0∑∞?(2n)!(?1)n?∫0∞?yfYn??(y)dy=n=0∑∞?(2n)!(?1)n?∫0∞?2π?nσy2n1??exp[?2σ2y1/n?]dy=n=0∑∞?(2n)!(?1)n?(n!)2n(2n)!?σ2n=n=0∑∞?(n!)2n(?1)n?σ2n=exp(?2σ2?)?(1.2)
E [ U n ] = 1 2 n ∑ k = 0 n ( n k ) E [ cos ? [ ( n ? 2 k ) x ] ] = 1 2 n ∑ k = 0 n ( n k ) exp ? ( ? ( n ? 2 k ) 2 σ 2 2 ) (1.3) \begin{aligned} \mathrm{E}\left[ U^n \right] &=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k} \mathrm{E}\left[ \cos \left[ \left( n-2k \right) x \right] \right]}\\ &=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k} \exp \left( -\frac{\left( n-2k \right) ^2\sigma ^2}{2} \right)}\\ \end{aligned}\tag{1.3} E[Un]?=2n1?k=0∑n?(kn?)E[cos[(n?2k)x]]=2n1?k=0∑n?(kn?)exp(?2(n?2k)2σ2?)?(1.3)
方差按照 E [ U 2 ] ? E [ U ] 2 \mathrm{E}\left[ U^2 \right]-\mathrm{E}\left[ U \right]^2 E[U2]?E[U]2 算就行，形式还挺妙的。
非均值正态
转化为零均值即可，若均值非 0 0 0 ，按照 cos ? ( x + μ ) = cos ? x cos ? μ ? sin ? x sin ? μ \cos(x+\mu)=\cos x\cos \mu-\sin x\sin \mu cos(x+μ)=cosxcosμ?sinxsinμ ，其中 x x x 是零均值， sin ? x \sin x sinx 期望为令，那么期望就是 cos ? μ ? exp ? ( ? σ 2 2 ) \cos\mu\cdot\exp \left( -\frac{\sigma ^2}{2} \right) cosμ?exp(?2σ2?) 。
