0-1背包问题

引言

0-1背包问题是指给定n个物品,每个物品均有自己的价值vi和重量wi(i=1,2,…, n),再给定一个背包,其容量为W。要求从n个物品中选出一部分物品装入背包,这部分物品的重量之和不超过背包的容量,且价值之和最大。单个物品要么装入,要么不装入。很多问题都可以抽象成该问题模型,如配载问题、物资调运[1]问题等,因此研究该问题具有较高的实际应用价值。目前,解决0-1背包问题的方法有很多,主要有动态规划法、回溯法、分支限界法、遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、蚁群算法、模拟退火算法、蜂群算法、禁忌搜索算法等。其中动态规划、回溯法、分支限界法时间复杂性比较高,计算智能算法可能出现局部收敛,不一定能找出问题的最优解。文中在动态规划法的基础上进行了改进，提出一种求解0-1背包问题的算法,该算法每一次执行总能得到问题的最优解，是确定性算法,算法的时间复杂性最坏可能为0(2n)。

本节先用java实现

package day1.java;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Bag {

    static class Item {// 定义一个物品
        String id; // 物品id
        int size = 0;// 物品所占空间
        int value = 0;// 物品价值

        static Item newItem(String id, int size, int value) {
            Item item = new Item();
            item.id = id;
            item.size = size;
            item.value = value;
            return item;
        }

        public String toString() {
            return this.id;
        }
    }

    static class OkBag { // 定义一个打包方式
        List<Item> Items = new ArrayList<Item>();// 包里的物品集合

        OkBag() {
        }

        int getValue() {// 包中物品的总价值
            int value = 0;
            for (Item item : Items) {
                value += item.value;
            }
            return value;
        };

        int getSize() {// 包中物品的总大小
            int size = 0;
            for (Item item : Items) {
                size += item.size;
            }
            return size;
        };

        public String toString() {
            return String.valueOf(this.getValue()) + " ";
        }
    }

    // 可放入包中的备选物品
    static Item[] sourceItems = { Item.newItem("4号球", 4, 5), Item.newItem
            ("5号球", 5, 6), Item.newItem("6号球", 6, 7) };
    static int bagSize = 10; // 包的空间
    static int itemCount = sourceItems.length; // 物品的数量

    // 保存各种情况下的最优打包方式 第一维度为物品数量从0到itemCount,第二维度为包裹大小从0到bagSize
    static OkBag[][] okBags = new OkBag[itemCount + 1][bagSize + 1];

    static void init() {
        for (int i = 0; i < bagSize + 1; i++) {
            okBags[0][i] = new OkBag();
        }

        for (int i = 0; i < itemCount + 1; i++) {
            okBags[i][0] = new OkBag();
        }
    }

    static void doBag() {
        init();
        for (int iItem = 1; iItem <= itemCount; iItem++) {
            for (int curBagSize = 1; curBagSize <= bagSize; curBagSize++) {
                okBags[iItem][curBagSize] = new OkBag();
                if (sourceItems[iItem - 1].size > curBagSize) {// 当前物品大于包空间.肯定不能放入包中.
                    okBags[iItem][curBagSize].Items.addAll(okBags[iItem - 1][curBagSize].Items);
                } else {
                    int notIncludeValue = okBags[iItem - 1][curBagSize].getValue();// 不放当前物品包的价值
                    int freeSize = curBagSize - sourceItems[iItem - 1].size;// 放当前物品包剩余空间
                    int includeValue = sourceItems[iItem - 1].value + okBags[iItem - 1][freeSize].getValue();
                    // 当前物品价值+放了当前物品后剩余包空间能放物品的价值
                    if (notIncludeValue < includeValue) {// 放了价值更大就放入.
                        okBags[iItem][curBagSize].Items.addAll(okBags[iItem - 1][freeSize].Items);
                        okBags[iItem][curBagSize].Items.add(sourceItems[iItem - 1]);
                    } else {// 否则不放入当前物品
                        okBags[iItem][curBagSize].Items.addAll(okBags[iItem - 1][curBagSize].Items);
                    }
                }

            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Bag.doBag();
        for (int i = 0; i < Bag.itemCount + 1; i++) {// 打印所有方案中包含的物品
            for (int j = 0; j < Bag.bagSize + 1; j++) {
                System.out.print(Bag.okBags[i][j].Items);
            }
            System.out.println("");
        }

        for (int i = 0; i < Bag.itemCount + 1; i++) {// 打印所有方案中包的总价值
            for (int j = 0; j < Bag.bagSize + 1; j++) {
                System.out.print(Bag.okBags[i][j]);
            }
            System.out.println("");
        }

        OkBag okBagResult = Bag.okBags[Bag.itemCount][Bag.bagSize];
        System.out.println("最终结果为:" + okBagResult.Items.toString() + okBagResult);

    }

}