[数据结构与算法] Power Iteration (幂迭代) 算法与证明

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[数据结构与算法]Power Iteration (幂迭代) 算法与证明

一、背景与算法

Power Iteration是线性代数中的一种经典算法，主要用于近似求解矩阵的主特征值和特征向量。

对于一个可对角化的矩阵A，对其进行特征分解可以得到特征值和特征向量，如果在A的所有特征值中存在 $|\lambda_1|>|\lambda_i|$ for all $i=2,3,...,n$ ，则 $\lambda_1$ 称为矩阵的主特征值，对应的特征向量则称为主特征向量。主特征值和特征向量中通常包含矩阵中的重要信息。在对大规模数据进行处理时，直接进行特征分解耗时较长，可以考虑使用Power Iteration来进行近似求解。算法的主要流程如下：

随机初始化向量 $x_0$
$x_1=Ax_0$
$x_2=AAx_0=A^2x_0$
$x_3=AAAx_0=A^3x_0$
...
until converge

当迭代次数足够多时，得到的向量 $x$ 就会以足够高的精度近似到矩阵的主特征向量。

得到特征向量之后，只需用以下瑞利商公式即可求得对应的特征值（v表示特征向量）：

?因为我们知道 $Av=\lambda v$ ，该公式可以由以下过程推出：

?经过迭代之后得到的结果可能会越来越大，为了防止这种情况出现，可以在每一轮相乘之后将得到的向量进行标准化处理，转化为单位向量。

使用Python实现Power Iteration的代码如下：

def eigenvalue(A, v):
    Av = A.dot(v)
    return v.dot(Av)

def power_iteration(A):
    n, d = A.shape

    v = np.ones(d) / np.sqrt(d)
    ev = eigenvalue(A, v)

    while True:
        Av = A.dot(v)
        v_new = Av / np.linalg.norm(Av)

        ev_new = eigenvalue(A, v_new)
        if np.abs(ev - ev_new) < 0.01:
            break

        v = v_new
        ev = ev_new

   return ev_new, v_new

?二、收敛性证明

使用Power Iteration可以很容易的求到主特征值，那么为什么这样的迭代过程能够得出正确的结果呢？下面给出该算法的收敛性证明。

定理：当A是一个可对角化的矩阵并且有主特征值时，power iteration过程 $Ax, A^2x, A^3x,...$ ?会收敛到矩阵的主特征值。

证明：

A是可对角化的，因此它有n个线性独立的特征向量 $v_1,v_2,...,v_n$ 以及对应的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$
令 $v_1$ 和 $\lambda_1$ 为主特征向量和特征值
由于特征向量是相互独立的，它们可以构成一组基，因此任意向量 $x_0$ 可以表示为 $x_0=c_1v_1+...+c_nv_n$
两边同时乘A:
重复k次：
因为 $\lambda_1$ 是最大的特征值，所以当 $k\rightarrow \infty$ 时， $\left (\frac{\lambda_i}{\lambda_1} \right )^k\rightarrow 0$
因此，当k足够大时， $A^kx_0=\lambda_1^kc_1v_1$