? 符号

theta 符号

在这我们用?(g(n)) 来表示一组函数：?(g(n)) = {f(n): 任何大于0的常数 c1, c2, 和 n0 满足 0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n)，对于所有的 n>=n0}.

我们说g(n) 是f(n) 的渐近紧范围（asymptotically tight bound）。

因为?(g(n)) 的定义要求每个符合?(g(n)) 要求的f(n) 得是渐近不是负数的 (asymptotically non-negative)，也就是说，无论n 有多大，f(n) 都不会是负数。

函数g(n) 本身必须是渐近不是负数 (asymptotically non-negative) 或则集合?(g(n)) 是空集。

O 符号大写

O 大写符号

在这我们用O(g(n)) 来表示一组函数：

O(g(n)) = {f(n): 任何大于0的常数 c 和 n0 满足 0<=f(n)<=cg(n)，对于所有的 n>=n0}.

我们说g(n) 是f(n) 的渐近上范围（asymptotically upper bound）。

注意：f(n)=?(g(n)) 说明了f(n)=O(g(n)) ，因为? 符号是个比O 符号强的符号；所以，我们可以说?(g(n)) ? O(g(n))，?(g(n))是O(g(n)) 的子集。

Ω 符号大写

omega 大写符号

在这我们用Ω(g(n)) 来表示一组函数：

Ω(g(n)) = {f(n): 任何大于0的常数 c 和 n0 满足 0<=cg(n)<=f(n)，对于所有的 n>=n0}.

我们说g(n) 是f(n) 的渐近下范围（asymptotically lower bound）。

这里说个理论，如果对任何两个函数f(n) 和 g(n)，仅且仅只有当f(n)=O(g(n)) 和f(n)=Ω(g(n))，我们会有?(g(n))。

o 符号小写

o 小写符号

在这我们用o(g(n)) 来表示一组函数：

o(g(n)) = {f(n): 任何大于0的常数 c，存在大于0的 n0 满足 0<=f(n)<cg(n)，对于所有的 n>=n0}.

我们说g(n) 是f(n) 的上范围但不是渐近紧（upper bound that is not asymptotically tight）。

而且，在o 符号中，当n 越来越接近无穷大，函数f(n) 和g(n) 的关系会变得越来越无关紧要；也就是说，lim x → ∞ (f(n)/g(n)) = 0.

ω 符号小写

omega 小写符号

在这我们用ω(g(n)) 来表示一组函数：

ω(g(n)) = {f(n): 任何大于0的常数 c，存在大于0的 n0 满足 0<=cg(n)<f(n)，对于所有的 n>=n0}.

我们说g(n) 是f(n) 的下范围但不是渐近紧（lower bound that is not asymptotically tight）。

而且，在o 符号中，当n 越来越接近无穷大，函数f(n) 和g(n) 的关系会变得越来越重要；也就是说，lim x → ∞ (f(n)/g(n)) = ∞.

测试算法时间的程序

下面这段伪代码是以纳秒为单位计算的，可以在实际中相对准确地验证我们的理论时间。

// Java代码，测试程序运行的时间
// 伪代码 
long startTime=System.nanoTime();   // 获取开始的时间 
doSth();  // 算法内容 
long endTime=System.nanoTime(); // 获取结束的时间 
System.out.println("Running time of algorithm： " + (end-start) + "ns");