1. 基础知识点
1.1 工作量s, 工作效率v, 工作时间t 三者的关系
- 工作量 = 工作效率 * 工作时间 即 s = vt
- 工作时间 = 工作量 / 工作效率 即 t = s/v
- 工作效率 = 工作量 / 时间, 即 v = s/t
重要说明： 时间t一定，效率与总量成正比
1.2 重要结论
若甲单独完成需要 m 天，乙单独完成需要 n 天，则
- 1.甲的效率为 1/m, 乙的效率为 1/n
- 2.甲乙合作的效率为: 1/m + 1/n (效率可以相加减)
- 3.甲乙合作完成需要时间为 1 /（1/m + 1/n）= mn / (m+n)
1.3 思路点拨
遇到工程量问题，通常将整个工程量(放水量)看出单位1，然后根据题干条件按比例求解。
通常假设总量（工程量、放水量）= 1 进行分析
-【重要公式】总效率=各效率代数和
- 工作效率=工作量 / 工作时间
- 总量=部分量 / 其对应的比例
2. 例题
2.1 例题1
某地需要修一段公路，若甲、乙俩工程队合作需要9天。若甲工程队单独工作10天后，乙队工程队加入，还需合作3天才能完成任务。已知甲工程队每天比乙工程队多修3千米。则这段路共有（）千米。
答：这段路共有（135）千米
解：设甲效率x，乙效率y
1)9x + 9y = 完成
2)10x + (x+y)3 = 完成，即13x + 3y = 完成
3)x - y = 3
由1,2得
9x + 9y = 13x+3y
4x=6y
4) x=2/3 * y
有1,4得
2/3 * y-y=3
-1/3*y=3
y=9
x=9+3=12
9x + 9y = 完成 = 9*12 + 9*3 = 108+27=135
这段路共有（135）千米
2.2 例题2
有一项工程，由甲、乙两个工程队来完成，甲单独完成这项工程需要30h,乙单独完成这项工程需要120h。要用26h来完成这项工程。条件 1）甲单独工程工作10h, 乙加入，两个工程队共同工作。条件2）两工程队共同工作18h,一起休息2h，再重新开始工作。
正确答案为：条件1充分，条件2充分
我的答案：条件1和条件2单独都不充分，条件1和条件2联合也不充分。目前不清楚为啥，该题暂时不再做，先跳过
解：
设工程量s,甲效率 s/30, 乙效率 s/120,
则甲乙合作需要 s / 总效率 = s / (s/30 + s/120)
= 1 / (1/30 + 1/120)
= 30*120 / (30+120)
= 3600 /150 = 360/15 = 24
得到甲乙工程队合作需要24h,即总工程量
(s/30 + s/120)*24
=150s/3600 * 24
= 1/24 * 24
= s
条件1）甲单独工程工作10h, 乙加入，两个工程队共同工作。
条件1，得到当前完成的工程量：10 * s/30 = s/3
条件2）两工程队共同工作18h,一起休息2h，再重新开始工作。
(s/30 + s/120) * 18
=1/24 * 18
=18/24
=3/4
查看条件1和条件2，完成的总工程量s/3+3/4s ！= s
故条件1和条件2单独都不充分，条件1和条件2联合也不充分
2.3 例题3
某项工程如果再减少3个人，则完成剩余的工程还需要128天。
条件1：8个人40天完成了全工程的1/3
条件2: 13个人用20天完成了全工程的1/3
答案：条件1成立，条件2不成立
解：
条件1：8个人40天完成了全工程的1/3，则总时间120天，即剩余工程还需80天
若某项工程如果再减少3个人，即5个人完成剩余工程还需要128天是否成立？
设单人工作效率为x，即总工程量为：8 * x * 120 = 960x
设完成剩余工程还需要y天
5 * x * y = 960x * (2/3) = 640x
y = 640x / 5x = 128 天
则5个人完成剩余工程还需要128天,成立
条件2: 13个人用20天完成了全工程的1/3，则总时间60天，即剩余工程还需40天
若某项工程如果再减少3个人，即10个人完成剩余工程还需要128天是否成立？
设单人工作效率为x,即总工程量为：13 * x * 60 = 780x
设完成剩余工程还需要y天
10 * x * y = 780x * (2/3) = 520x
y = 52天
即10个人完成剩余工程还需要128天是否成立,不成立
即条件1成立，条件2不成立
2.4 例题4
街道道路改造，此工程由甲、乙两队共同承担，已知甲队单独做比甲乙两队合作多5天，如果甲乙两队先做4天后，再由乙队单独做3天，此时完成工程一半，则甲乙两队合作需要（）天完成
解：
设甲乙合作x天完成，即总效率为1/x,
且甲单独完成需要（x+5）,即甲效率为:1/(x+5)
故z的效率为：1/x - 1/(x+5)
(1 /(x+5) + 1/x - 1/(x+5)) * 4 + (1/x - 1/(x+5)) * 3 = 1/2
4/x + 3/x - 3/(x+5) = 1/2
7/x - 3/(x+5) = 1/2
14/x - 6/(x+5) =1
(14(x+5)-6x) / (x(x+5))= 1
14x+70-6x=x^2+5x
x^2-3x-70=0
(x+7)(x-10)=0
得x=10或x=-7.
负数不存在，即甲乙还需要合作10天才能完成
以下为我的2个失败思路
思路1：设甲效率为x, 乙效率为y,甲乙合作需要z天，则可以得到如下关系
1）(x + y) * z = 工程量
2)x * ( z + 5) = 工程量
3)（x + y）* 4 + 3y = 工程量/2
重点得到甲效与乙效之比
3)（x + y）* 4 + 3y = 工程量/2
4x+4y+3y=工程量/2
4x+7y=工程量/2
8x+14y=工程量
上述很难计算
思路2：设甲单独做x天，乙单独做y天
即甲效率1/x，乙效率1/y ，则甲乙合作需要 1 / (1/x + 1/y) = xy/x+y 天
由甲队单独做比甲乙两队合作多5天
得：x + 5 = xy/x+y
如果甲乙两队先做4天后，再由乙队单独做3天，此时完成工程一半
(1/x + 1/y) * 4 + 1/y * 3 = 1/2
(x+y/xy) * 4 + 3/y = 1/2
上述很难计算
2.5 例题5
一个工程，甲队单独做需要10小时，乙队单独做需要15小时。丙队单独做20小时完成。刚开始三队合作，中途甲队调走，由乙、丙队合作，从开始到工程完成共用了6小时，则甲队实际做的小时数为()
答案：甲队实际做的小时数为(4)
解：
由甲队单独做需要10小时，乙队单独做需要15小时。丙队单独做20小时完成
工作量为1，得，甲效率 1/10， 乙效率1/15, 丙效率 1/20
设 甲实际做x小时
(1/10 +1/15 + 1/20) * x + (1/15 + 1/20)(6-x) = 1
x = 3
故加实际完成小时数 3 小时
2.6 例题6
甲乙两队共同合作，3天可以完成某工程的一半，余下的工程由甲队单独做一天，再由乙队单独做6天后完成，则甲乙两队单独完成该项工程所需的天数分别为（10，15）
解：设甲效率x,乙效率y
思路2：
1）(x+y) * 3 = s/2
2）x+6y =s/2
即(x+y) * 3 = x+6y
3x+3y=x+6y
即甲乙效率比：2x=3y
即 4x=6y，代入2）
x+4x = s/2
5x=s/2
10x=s
即甲单独做需要天数为：s/x = 10 天
由甲乙效率比：2x=3y
由x+6y =s/2，2x+12y=s
即3y+12y=s
15y=s
即甲单独做需要天数为：s/y = 15 天
2.7 例题7
甲单独完成需20天。
条件1：某工程如果甲乙合作，12天完成，如果乙单独做，30天可完成
条件2：某工程甲乙合作4天，剩下的全部工程2/3,让乙单独做，还需20天才能完成。
答：条件1充分，条件2充分
解：
条件1：某工程如果甲乙合作，12天完成，如果乙单独做，30天可完成
设工程量为1，甲单独需要x天完成,甲效1/x, 乙效 1/30。
1 / (1/x + 1/30) = 12
30x/(30+x) =12
30x = 360 + 12x
18x =360
x =20， 即甲单独完成需要20天，可以推出甲单独完成需20天，即条件1充分
条件2：
某工程甲乙合作4天，剩下的全部工程2/3,让乙单独做，还需20天才能完成。
设甲效x,乙效y
(x+y)*4 = 1/3 * s
20y = 2/3 * s,即10y = 1/3 *s
即(x+y)*4 = 10y
4x+4y=10y
4x=6y
将 4x=6y 代入 (x+y)*4 = 1/3 * s
4x + 4y = 1/3 * s
12x+12y = s
4x=6y 等价于 8x = 12y
即12x+8x =s
20x=s
可以推出甲单独完成为 工程量/ 效率 = s/x = 20,即条件2充分
2.8 例题8
某项工程8人用35天完成全部工程的1/3.如果再增加6人，则完成剩下的工程还需（）天
答：完成剩下的工程还需（40）天
解：某项工程8人用35天完成全部工程的1/3
可得8人完成总工程的天数为：35 / (1/3) = 105 天，
即8人效率为:1/105
即1人效率为：(1/105) / 8 = 1 / 840
即6人效率为：(1 / 840) * 6 = 1 / 140
即14人效率为：：(1 / 840) * 14 = 1 / 60
求14人完成2/3工程所需时间：
（2/3）/ ( 1 / 60)
2/3 * 60 = 40 天
完成剩下的工程还需（40）天
2.9 例题9
甲乙丙做一项打字工作，甲单独做需要10天，若甲乙合作只需6天完成；乙丙合作需要8天完成。现在甲乙丙一起工作，做完所有的打字任务后，发现甲比乙多打字2400个，那么丙打了()字？
答：丙打了(4200)字
解：设工程量为1
由甲单独做需要10天，得甲效 = 1/10
由甲乙合作只需6天完成，得
1 / (1/10 + 1/乙) = 6
10乙/(10+乙) = 6
10乙 = 6 * (10+乙)
10乙 = 60 + 6乙
4乙 = 60
乙=15天
得乙单独做需要15天
由乙丙合作需要8天完成
1 / (1/15 + 1/丙) = 8
15丙/(15+丙) = 8
15丙= 120 + 8丙
7丙=120
丙：120/7天
故甲乙丙的效率为: 1/10 ： 1/15 ： 7/120
（12/120）:（8/120）:（7/120）
12:8:7
甲比乙多打字2400,由效率比得甲比乙多4个单位，即1个单位为600个字。
丙为7个单位，故丙打了7*600 = 4200
