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🍄今日题目

P1341 无序字母对 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态

🌰思路：这道题用到了欧拉路的思想，我们先来简单了解一下欧拉路：

1. 定义

欧拉路径：如果图G中的一个路径包括每个边恰好一次，则该路径称为欧拉路径(Euler path)。
欧拉回路：如果一个回路是欧拉路径，则称为欧拉回路(Euler circuit)。

2. 无向图的充要条件

欧拉路径：奇数点的数量是0（即欧拉回路）或2
欧拉回路：全是偶数点

3. 有向图的充要条件

欧拉路径：起点出度等于入度+1，终点入度等于出度+1
欧拉回路：所有点的入度和出度相等

?由于本题是无序的字母对，也就相当于无向图。我们的任务就是找到一条欧拉路，使它包括每个无序字母对。根据欧拉路的定义，我们可以发现：如果图是不连通的，或者奇数度数的顶点存在但个数不为2时，在图中不存在欧拉路径，因此我们可以先把这种情况排除。判断图是否连通用并查集就好。

接下来，我们如何找到这条欧拉路呢？由于题目要求输出字典序最小的方案，所以对于欧拉回路（所有顶点的度数都是偶数）来说，我们每次都从字典序最小的顶点遍历就好；对于欧拉路径（此处指有两个顶点的度数是奇数的情况）来说，我们要从字典序最小的奇数度数顶点开始遍历，此后每次再遍历字典序最小的相邻顶点。需要注意的是，由于是递归遍历，所以存储路径时应该倒着存。

🌰AC代码：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int g[125][125];   
int deg[125];     //存储每个顶点的度数
int father[125];    //存储父亲（祖先）节点
int n;

vector<char> v;   //存储结果（欧拉路径）

//寻找祖先节点，采用压缩路径算法
int find(int x){
    return father[x]=father[x]==x?x:find(father[x]);
}

//合并两个顶点
void u(int x,int y){
    int xF=find(x),yF=find(y);
    father[xF]=yF;
}

//欧拉，每次寻找字典序最小的相连顶点
void oula(int index){
    for(int i='A';i<='z';i++){
        if(g[index][i]){
            g[index][i]=g[i][index]=0;
            oula(i);
        }
    }
    v[n--]=index;   //由于是递归遍历，所以要倒着存
}

int main(){
    cin>>n;
    v.resize(n+1);

    //初始化父亲数组
    for(int i='A';i<='z';i++)
        father[i]=i;
    
    string s;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>s;
        g[s[0]][s[1]]=g[s[1]][s[0]]=1;
        deg[s[0]]++;
        deg[s[1]]++;
        u(s[0],s[1]);
    }

    int cnt=0;   //记录祖先个数，也就是连通分量的个数
    int ji_cnt=0;   //记录度数为奇数的顶点个数
    for(int i='A';i<='z';i++)
        if(deg[i]){
            if(father[i]==i)
                cnt++;
            if(deg[i]&1){
                ji_cnt++;
            }
        }

    //不是连通图或者不存在欧拉路径（回路）
    if(cnt>1||ji_cnt&&ji_cnt!=2){
        printf("No Solution");
        return 0;
    }

    //寻找遍历的起点
    int head=0;
    for(int i='A';i<='z';i++)
        if(deg[i]){
            //如果是欧拉回路（所有顶点的度数都是偶数），就找字典序最小的顶点
            if(!ji_cnt){
                head=i;
                break;
            }
            //如果是欧拉路径，就找字典序最小的度数为奇数的顶点
            else if(deg[i]&1){
                head=i;
                break;
            }
        }
    
    oula(head);
    for(int i=0;i<v.size();i++)
        cout<<v[i];
    return 0;
}

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