leetcode上有【买股票】的题很有意思，基本上也采用动态规划去做，今天总结一下。
在309. 最佳买卖股票时机含冷冻期解答中汇总了题目汇总了所有的买股票问题：力扣
1、121 买股票的最佳时机
链接：力扣
给定一个数组 prices ，它的第?i 个元素?prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例1
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
? ? ?注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。示例2
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
分析：
只能买一次，卖一次。即找到前n天中最小值，再找到最大值，求出收益最大值即可。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int low = INT_MAX;
int res = 0;
for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
low = min(low, prices[i]); // 找到价格的最小值
res = max(res, prices[i] - low); // 找到收益的最大值
}
return res;
}
};使用动态规划也可以解决这个问题。
（1）定义dp数组:
????????dp[i][0]表示第i天不持有股票的收益；
? ? ? ? dp[i][1]表示第i天持有股票的收益；
（2）递推公式：
? ? ? ? dp[i][0]的取值可以是：前一天也不持有股票，今天保持不变，即dp[i][0] = dp[i - 1][0];
????????dp[i][0]的取值可以是：前一天也持有股票，今天买了，即dp[i][0] = dp[i - 1][1] +?prices[i];
取二者较大值，即
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);? ? ? ?那么对于dp[i][1]也是同样的分析：
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：前一天就持有股票，今天保持不变，即dp[i][1] = dp[i - 1][1]
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：之前不持有股票，今天买入，即dp[i][1] = -prices[i]
取二者较大值，即
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);（3）初始化：
可以看出后面的数值依赖前面的数值，即要先初始化前面的数据
dp[0][0] = 0; // 第0天不持有股票，所以最大收益是0
dp[0][1] = -prices[0]; // 第0天持有股票，收益是-prices[0]最终代码
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2));
// dp[i][0]第i天不持有股票的收益
// dp[i][1]第i天持有股票的收益
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
}
return dp[prices.size() - 1][0];
}
};2、122.买卖股票的最佳时机II
链接：??????力扣
给你一个整数数组 prices ，其中?prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候?最多?只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。返回 你能获得的 最大 利润?。
示例1
输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
?? ? 随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
? ? ?总利润为 4 + 3 = 7 。示例2
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
?? ? 总利润为 4 。示例3
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。
分析：
这题和121的最大区别是可以多次买卖
分析过程和121一样，不同的是递推公式有变化
????????dp[i][0]表示第i天不持有股票的收益；
? ? ? ? dp[i][1]表示第i天持有股票的收益；
?对于dp[i][1]的分析：
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：前一天就持有股票，今天保持不变，即dp[i][1] = dp[i - 1][1]
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：之前不持有股票，今天买入，即dp[i][1] =?dp[i - 1][0] - prices[i]
即
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);最终代码
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
// dp[i][0]表示不持有股票的最大收益
// dp[i][1]表示持有股票的最大收益
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
}
return dp[len - 1][0];
}
};同样的可以暴力求解：
因为可以多次买卖，只有prices[i] >?prices[i - 1]，就可以考虑卖出
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int res = 0;
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
if (prices[i] > prices[i - 1]) {
res += prices[i] - prices[i - 1];
}
}
return res;
}
};3、123.买卖股票的最佳时机III
链接：力扣
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成?两笔?交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例1
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
?? ? 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。示例2
输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 ??
?? ? 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 ??
?? ? 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。示例3
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。示例4
输入：prices = [1] 输出：0
分析：
这题限制了交易的次数，最多可以完成两笔交易。
（1）定义dp数组
最多可以买卖两次，那么数组的状态有几种呢？
5种！！！
为什么是5种呢？
最多买卖两次：即已经有四种状态了：第一次买入；第一次卖出；第二次买入；第二次卖出；
同样的，还有一种不操作。
dp[i][0]：表示第i天不操作；
dp[i][1]：第i天第一次买入；
dp[i][2]：第i天第一次卖出；
dp[i][3]：第i天第二次买入；
dp[i][4]：第i天第二次卖出；
（2）递推公式
dp[i][0]：第i天不操作
? ? ? ? dp[i][0]的取值只能是：保持前一天的状态，即dp[i][0] = dp[i - 1][0];
即
dp[i][0] = dp[i - 1][0];dp[i][1]：第i天第一次买入
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：保持前一天买入的状态，即dp[i][1] = dp[i - 1][1];
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：前一天没有操作，今天是第一次买，即dp[i][1] = dp[i - 1][0] -?prices[i];
取较大值，即
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);dp[i][2]：第i天第一次卖出
????????dp[i][2]的取值可以是：保持前一天第一次卖出的状态，即dp[i][2] = dp[i - 1][2];
? ? ? ? dp[i][2]的取值可以是：前一天是第一次买入，今天是第一次卖出，即dp[i][2] = dp[i - 1][1] +?prices[i];
取较大值，即
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);剩下两个状态类似，这里不赘述了
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);（3）初始化
可以看出后面的数值依赖前面的数值，即要先初始化前面的数据。
只有买入有花费，即
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];最终代码
class Solution {
public:
// 5个状态：0不操作、1第一次买、2第一次卖、3第二次买、4第二次卖
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
if (len == 0) {
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(5, 0));
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
};4、188.买卖股票的最佳时机IV
链接：力扣
给定一个整数数组?prices ，它的第 i 个元素?prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例1
给定一个整数数组?prices ，它的第 i 个元素?prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例2
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
? ? ?随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
分析：
这个题是可最多以完成k次交易
通过123题可以看出，奇数是买入，偶数是卖出
如果j是奇数，dp[i][j]表示第i天买入，dp[i][j] = max(前一天买入而今天不操作,?前一天卖出而今天买入)
如果j是偶数，dp[i][j]表示第i天卖出，dp[i][j] = max(前一天卖出而今天不操作,?前一天买入而今天卖出);
代码如下
class Solution {
public:
// 0是不操作，奇数是买入，偶数是卖出
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
if (len == 0 || k == 0) {
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2 * k + 1, 0));
// 初始化
for (int i = 1; i < 2 * k + 1; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0];
}
// i控制天数，j控制状态
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
// 买入
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
// 卖出
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][2 * k];
}
};5、309.?最佳买卖股票时机含冷冻期
链接：力扣
给定一个整数数组prices，其中第??prices[i]?表示第?i?天的股票价格 。?
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。示例1
输入: prices = [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]示例2
输入: prices = [1] 输出: 0
分析：
还是把状态都列举一下，再分析。
大的分类可以分成持有股票和不持有股票，再细分就是：
0表示持有股票；
1表示不持有股票。且不处于冷冻期；
2表示今天卖出股票；
3表示今天是冷冻期
（1）dp数组
dp[i][0]表示第i天持有股票；
dp[i][1]表示第i天不持有股票。且不处于冷冻期；
dp[i][2]表示第i天卖出股票；
dp[i][3]表示第i天是冷冻期；
（2）递推公式
dp[i][0]：第i天持有股票
? ? ? ? dp[i][0]的取值可以是：保持前一天的状态，即第i-1天持有股票，今天不操作dp[i][0] = dp[i - 1][0];
? ? ? ? dp[i][0]的取值可以是：今天买入的股票，那么前一天的状态有【不持有股票，且不处于冷冻期】和【前一天是冷冻期】，即dp[i][0] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) -?prices[i];
取较大值，即
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) - prices[i]);dp[i][1]：第i天不持有股票。且不处于冷冻期；
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：前一天就是不持有股票，且不处于冷冻期，今天不操作，即dp[i][1] = dp[i - 1][1]
? ? ? ? dp[i][1]的取值可以是：前一天是冷冻期，今天则不是冷冻期
取较大值
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);dp[i][2]：第i天卖出股票
? ? ? ? dp[i][2]的取值只能是前一天持有股票，今天卖出。
即
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];dp[i][3]：第i天是冷冻期
????????dp[i][3]的取值只能是前一天刚卖出了股票
即
dp[i][3] = dp[i - 1][2];最终代码
class Solution {
public:
// 4个状态
// 0持有股票
// 1不持有股票，且不处于冷冻期
// 2今天卖出股票
// 3今天是冷冻期
int maxProfit(vector<int>& prices) {
int len = prices.size();
if (len == 0) {
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(4, 0));
// 初始化
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
}
// 注意返回值，这三个状态都是不持有股票。所以要取最大值
return max(dp[len - 1][1], max(dp[len - 1][2], dp[len - 1][3]));
}
};还可以简化状态，代码如下：
class Solution {
public:
// 3种状态
// 0目前持有一支股票
// 1不持有股票，且今天结束后处于冷冻期，即今天卖出
// 2不持有股票，且不处于冷冻期
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.empty()) {
return 0;
}
int len = prices.size();
vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(3, 0));
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1]);
}
return max(dp[len - 1][1], dp[len - 1][2]);
}
};也可以不用数组，简化成变量
class Solution {
public:
// 3种状态
// 0持有股票
// 1不持有股票，且今天结束后处于冷冻期，即今天卖出
// 2不持有股票，且不处于冷冻期
// 不使用数组
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if (prices.size() == 0) {
return 0;
}
int f0 = -prices[0];
int f1 = 0;
int f2 = 0;
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
int newf0 = max(f0, f2 - prices[i]);
int newf1 = f0 + prices[i];
int newf2 = max(f2, f1);
f0 = newf0;
f1 = newf1;
f2 = newf2;
}
return max(f0, max(f1, f2));
}
};6、714.买卖股票的最佳时机包含手续费
链接：力扣
给定一个整数数组?prices，其中 prices[i]表示第?i?天的股票价格 ；整数?fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例1
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润: ?
在此处买入?prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润:?((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8示例2
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3 输出：6
分析：
可以使用贪心的思路，只要后面的价格大于买入的价格+费用，就卖出；再加上反悔操作，即：
成当前手上拥有一支买入价格为prices[i] 的股票，将cost 更新为prices[i]。这样一来，如果下一天股票价格继续上升，我们会获得prices[i+1]?prices[i] 的收益，加上这一天 prices[i]?buy 的收益，恰好就等于在这一天不进行任何操作，而在下一天卖出股票的收益。
class Solution {
public:
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
if (prices.size() == 0) {
return 0;
}
int res = 0;
int cost = prices[0] + fee; // 目前最低的花费
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
// 找到更低的花费
if (prices[i] + fee < cost) {
cost = prices[i] + fee;
}
//
if (prices[i] > cost) {
res += prices[i] - cost;
cost = prices[i]; // 反悔操作
}
}
return res;
}
};动态规划思想：
把状态都列举一下，再分析。
总共有两种状态：持有股票和不持有股票
（1）dp数组
dp[i][0]表示第i天持有股票时的最大收益；
dp[i][1]表示第i天不持有股票时的最大收益；
（2）递推公式：
dp[i][0]的取值是：max(前一天就持有股票而今天不操作,?前一天不持有股票而今天买);
dp[i][1]的取值是：max(前一天不持有股票而今天不操作,?前一天持有股票而今天卖出且考虑手续费);
最终代码
class Solution {
public:
// 2种状态
// 0表示持有股票所得的最多现金
// 1表示不持有股票所得的最多现金
int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
if (prices.size() == 0) {
return 0;
}
vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2, 0));
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
}
return max(dp[prices.size() - 1][0], dp[prices.size() - 1][1]);
}
};7、剑指?Offer?63.?股票的最大利润
链接：力扣
未完待续......
