[数据结构与算法]梯度下降法的原理

之前一直就只知道朝着负梯度的方向走就能降Loss，却不知道是为什么，今天看了人工智能的课才明白了。

首先假设损失函数$f(x)$，下一步$x$的移动方向与距离$\Delta x$，则有移动后的损失$f(x+\Delta x)$，我们来思考怎样能让损失降低，也就是使得$f(x+\Delta x)<f(x)$

首先对$f(x+\Delta x)$泰勒展开：

将$f(x)$移到左边可得：

其中，$?f(x)$为$f(x)$的一阶导数
其中，左边也就是移动前后的损失差值

目标是使得差值为负，且尽可能小，也就是损失下降得越多越好
也即希望右边$<0$，且越小越好
我们看右边：
两个向量相乘=模相乘*$cos\theta$

所以$\underset{\Delta x}{\mathrm{argmin}}f(x+\Delta x)?f(x)=\underset{\Delta x}{\mathrm{argmin}}\Vert ?f(x)\Vert \Vert \Delta x\Vert cos\theta$
其中，模必$>=0$，因此，为了使其为负且最小化，$cos\theta$为负且最小，而$cos\theta$就是参数变化的方向($\Delta x$和梯度$?f(x)$方向的夹角)。

要使得$cos\theta$为负且最小，即当$\theta =\pi$时，取最小值$cos\pi =?1$

即当$\Delta x$与$?f(x)$的夹角为$\pi$，即取负梯度方向时，右边能取到最小值。

最终，

$\Vert \Delta x\Vert$是一个标量，x移动的大小，我们可以看成学习率$\alpha$，最终，上式变为：

也就是说，取梯度的负方向，再根据学习率调整步长，就能降低损失

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