[数据结构与算法]数据结构之时间空间复杂度

基本概念

数据结构包含的基本概念整理如下图所示。

稀疏索引表示例：

倒排索引示例：

算法

算法是指对特定问题求解步骤的一种描述。

时间复杂度

时间复杂度：算法运行需要的时间，一般将算法基本运行的执行次数作为时间复杂度的度量标准。

示例1：

sum = 0;						//运行1次
total = 0;						//运行1次
for(i = 0; i < n; i++){			//运行n+1次，最后一次判断不成立，结束
    sum += i;					//运行n次
    for(j = 0; j < n; j++)		//运行n*(n+1)次
        total += i*j;			//运行n*n次
}

总共运行次数：1+1+(n+1)+n+n*(n+1)+n*n = 2n^2 +3n+3，当n足够大时，算法运行次数主要取决于高项，其余可忽略不计。**O(f(n)) = O(n^{2)**，用**O(n}2)**表示示例1的时间复杂度。

示例2：

i = 1;				//运行1次
while(i <= n){		//运行log2(n)次
    i = i*2;		//运行log2(n)次
}

总共运行次数：1+2log2(n)，时间复杂度记为O(log2(n))。计算机中logn默认就是以2为底的幂函数。

示例3：

int findx(int x){				//在数组a[n]中顺序查找x
    for(i = 0; i < n; i++){
        if(a[i] == x)
            return i;
    }
    return -1;
}

该程序很难计算到底执行了多少次，因为执行次数依赖于x在数组中的位置。

最好情况：第一个元素就是x，则执行1次；最坏情况：最后一个元素是x，执行n次；平均情况：如果分布概率均等，则平均执行次数为(n+1)/2次。

有些算法可以分最好情况、最坏情况、平均情况来求解时间复杂度，我们一般要考虑到最坏情况，才有实际参考意义。

空间复杂度

算法占用空间的大小，一般将算法的辅助空间作为衡量标准。

一个算法占用的空间：

• 输入输出数据所占空间
• 算法本身所占空间
• 额外需要的辅助空间

示例1：

swap(int x, int y){
    int tmp;
    tmp = x;			//tmp为辅助空间
    x = y;
    y = tmp;
}

该算法使用了一个辅助空间，因此空间复杂度为O(1)。

示例2：

fac(int n){				//计算n的阶乘
    if(n<0){
        printf("n<0, data error");
        return -1;
    }
    else if(n == 0 || n == 1)
        return 1;
    else
        return n*fac(n-1);
}

递归算法中，每一次递推需要一个栈空间来保存调用记录，因此空间复杂度需要计算递归栈的辅助空间。

该计算n的阶乘程序中，每次需要进栈压栈，到最后出栈。空间复杂度是O(n)，时间复杂度是O(n)。

时间复杂度的优劣：

**O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n) **

斐波那契问题

了解下快速幂法：如何快速的求解A的B次方，可以参考这篇博文。

斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

/*fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 ...*/

#include "stdio.h"
#include "sys/time.h"
#include "string.h"
#include "time.h"

/*递归法, O((3/2)^n)*/
int fibo1(int n){
    if(n < 1)
        return 0;
    if(n == 1 || n == 2)
        return 1;
    else
        return fibo1(n-1) + fibo1(n-2);
}

/*迭代法, O(n)*/
int fibo2(int n){
    int x = 1, y = 1;
    int i = 0;
    if(n < 1)
        return 0;
    for(i = 2; i < n; i++){
        y = x + y;
        x = y - x;
    }
    return y;
}

/*矩阵快速幂法, O(logn)
 *        |1,1|(n-1)
 * F(n) = |   |     * F(1)
 *        |1,0|
 */
void multiply(int F[2][2], int M[2][2]){
    int a = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1]*M[1][0];
    int b = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1]*M[1][1];
    int c = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1]*M[1][0];
    int d = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1]*M[1][1];
    F[0][0] = a;
    F[0][1] = b;
    F[1][0] = c;
    F[1][1] = d;
}

void power(int F[2][2], int n){
    if(n < 2)
        return;
    int M[2][2] = {{1,1},{1,0}};
    power(F, n/2);
    multiply(F, F);
    if( n & 1)
        multiply(F, M);
}

int fibo3(int n){
    int F[2][2] = {{1,1},{1,0}};
    if(!n)
        return 0;

    power(F, n-1);
    return F[0][0];
}

int main(int argc, char *argv[]){
    int n = 0;
    unsigned int Fn = 0;
    clock_t start, end;

    printf("input number:\n");
    scanf("%d", &n);

    start = clock();
    Fn = fibo1(n);
    end = clock();
    printf("fibo1, f(%d):%u, sec:%f\n", n, Fn, (double)(end - start)/CLOCKS_PER_SEC);

    start = clock();
    Fn = fibo2(n);
    end = clock();
    printf("fibo2, f(%d):%u, sec:%f\n", n, Fn, (double)(end - start)/CLOCKS_PER_SEC);

    start = clock();
    Fn = fibo3(n);
    end = clock();
    printf("fibo3, f(%d):%u, sec:%f\n", n, Fn, (double)(end - start)/CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}

创作打卡挑战赛

赢取流量/现金/CSDN周边激励大奖