例题：B-逃离魔爪

题意：

给定矩阵大小，一开始全部元素都为0。操作1将一块区域取反；操作2回答区域有多少个1.

做法：

树状数组维护二维差分，将区间操作变为单点操作。

$d(i,j)$ 是差分数组。

差分数组的前缀和就是单点的值，而这里求的是区间的值，那就是差分数组前缀和后，变为单点的值，单点的前缀和才是区间的值。就是下面这个式子了。这个式子的意思是 $(x,y)$ 的前缀和。

$\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y} \sum_{h = 1}^{i} \sum_{k = 1}^{j} d(i)(k) =& \sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y}d(i)(j) * (x - i + 1)*(y-j+1) \\=&(x+1)*(y+1)\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y}d(i)(j) \\&-(y+1)\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y}d(i)(j) *i \\&-(x+1)*\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y}d(i)(j) *j \\&+\sum_{i = 1}^{x} \sum_{j = 1}^{y}d(i)(j) *i*j \end{aligned}$

为了方便维护，拆分为这四个式子。

类比一维的树状数组， $tree(x)$ 表示右端点为 $x$ ，长为 $lowbit(x)$ 的区间和。

二维的那就是， $tree(x,y)$ 表示右下角为 $(x,y)$ ，高 $lowbit(x)$ ，宽 $lowbit(y)$ 的区间的区间和。

所以树状数组也就能进行二维的快速单点修改，区间查询了。

单点修改，需要改四个树状数组：

void point_add(int x, int y, int val)
{
    add(1, x, y, val);
    add(2, x, y, val * x);
    add(3, x, y, val * y);
    add(4, x, y, val * x * y);
}

?而一次区间加，需要转化为四个单点修改。至于为什么是四个点，可以看这个博客：二维差分

point_add(x1, y1, val);
point_add(x1, y2 + 1, -val);
point_add(x2 + 1, y1, -val);
point_add(x2 + 1, y2 + 1, val);

单点查询，查的是 $(x,y)$ 的前缀和：

int point_que(int x, int y)
{
    int ans = 0;
    ans += que(1, x, y) * (x + 1) * (y + 1);
    ans -= que(2, x, y) * (y + 1);
    ans -= que(3, x, y) * (x + 1);
    ans += que(4, x, y);
    return ans;
}

区间查询太简单，就是二维前缀和，这里不放了。

放一下这题的代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod = 2, N = 1000 + 5;
int c[5][N][N];
int n, m;
void add(int k, int x, int y, int val)
{
    for (int i = x; i <= n; i += i & -i)
        for (int j = y; j <= m; j += j & -j)
        {
            c[k][i][j] += val;
            c[k][i][j] %= mod;
        }
}
int que(int k, int x, int y)
{
    int sum = 0;
    for (int i = x; i; i -= i & -i)
        for (int j = y; j; j -= j & -j) sum += c[k][i][j];
    return sum % mod;
}
void point_add(int x, int y, int val)
{
    add(1, x, y, val);
    add(2, x, y, val * x);
    add(3, x, y, val * y);
    add(4, x, y, val * x * y);
}
int point_que(int x, int y)
{
    int ans = 0;
    ans += que(1, x, y) * (x + 1) * (y + 1);
    ans -= que(2, x, y) * (y + 1);
    ans -= que(3, x, y) * (x + 1);
    ans += que(4, x, y);
    return ans;
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);

    int q;
    cin>>q;
    int op;
    while (q--)
    {
        cin>>op;
        if (op == 1)
        {
            int x1, y1, x2, y2, val;
            val = 1;
            scanf("%lld%lld%lld%lld", &x1, &y1, &x2, &y2);
            point_add(x1, y1, val);
            point_add(x1, y2 + 1, -val);
            point_add(x2 + 1, y1, -val);
            point_add(x2 + 1, y2 + 1, val);
        }
        else
        {
            int x1, y1, x2, y2;
            scanf("%lld%lld%lld%lld", &x1, &y1, &x2, &y2);

            int ans = 0;
            ans += point_que(x2, y2);
            ans -= point_que(x1 - 1, y2);
            ans -= point_que(x2, y1 - 1);
            ans += point_que(x1 - 1, y1 - 1);
            printf("%lld\n", (ans % mod + mod) % mod);
        }
    }
    return 0;
}