李群与李代数，李括号性质的分析与证明
- 本文重点描述李群(Lie Group)与李代数(Lie Algebra)的相关定义与性质。
- 群（Group）是一种集合加一种运算组成的结构。
- 从李群，推导出李代数，得到了李代数是李群在单位元处的正切空间(Tangent Space)的概念。
- 随后，证明了三维向量上李括号的性质，即两个三维向量的李括号是李代数。
1. 群的概念
1.1 特殊正交群S0(3)与特殊欧式群SE(3).
1.2 李群与李代数
2. 李代数的性质与证明
2.1 李代数的定义
2.2 李括号的定义
- 这里面需要注意的是，每个 ? = [ ? 1 , ? 2 , ? 3 ] T \boldsymbol\phi=[\phi_1,\phi_2,\phi_3]^T ?=[?1?,?2?,?3?]T 生成的反对称矩阵记为 Φ \Phi Φ，Note：( ∧ \wedge ∧ 代表反对称矩阵，skew matrix)。
Φ = ? ∧ = [ 0 ? ? 3 ? 2 ? 3 0 ? ? 1 ? ? 2 ? 1 0 ] \Phi = \boldsymbol\phi^{\wedge}= \left[ \begin{matrix} 0 & -\phi_3 & \phi_2 \\ \phi_3 & 0 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1 & 0 \end{matrix} \right] Φ=?∧=???0?3???2????3?0?1???2???1?0????
- so(3)的李括号为：
[
?
1
,
?
2
]
=
(
Φ
1
Φ
2
?
Φ
2
Φ
1
)
∨
[\boldsymbol\phi_1,\boldsymbol\phi_2]=(\Phi_1\Phi_2-\Phi_2\Phi_1)^{\vee}
[?1?,?2?]=(Φ1?Φ2??Φ2?Φ1?)∨。Note：(
∨
\vee
∨ 代表反对称矩阵转换回向量形式)。
2.3 三维向量 R 3 \mathbb{R}^3 R3上定义叉积 × \times ×是一种李括号的证明
有些参考材料上，写的是两个二维向量的李括号是李代数的证明。
2.3.1 封闭性
2.3.2 双线性
2.3.3 自反性
2.3.4 雅可比等价性
2.4 SO(3)对应的李代数so(3)与SE(3)对应的李代数se(3)
我们在下一章会介绍和推导指数映射和对数映射，如何从SO(3)的旋转矩阵R来求出对应的李代数so(3)。
