开发: C++知识库 Java知识库 JavaScript Python PHP知识库人工智能区块链大数据移动开发嵌入式开发工具数据结构与算法开发测试游戏开发网络协议系统运维
教程: HTML教程 CSS教程 JavaScript教程 Go语言教程 JQuery教程 VUE教程 VUE3教程 Bootstrap教程 SQL数据库教程 C语言教程 C++教程 Java教程 Python教程 Python3教程 C#教程
数码: 电脑笔记本显卡显示器固态硬盘硬盘耳机手机 iphone vivo oppo 小米华为单反装机图拉丁

-> 数据结构与算法 -> SS2022-Z变换-性质-什么是ZT线性性质？ -> 正文阅读

[数据结构与算法]SS2022-Z变换-性质-什么是ZT线性性质？

简介：本节内容介绍了z变换的线性特性及其应用。灵活定理虽然简单，灵活掌握应用是关键。

关键词： ZT，线性性质

数学原理

目录
Contents

应用举例

双曲余弦和正弦

有限长序列z变换

知识关联

证明卷积定理

累加交换条件

思考练习

总结

Z变换性质-线性特性

§01 数学原理

z变换的线性特性比较简单，用途比较广泛，也是其他特性的基础。下面我们进行介绍。

z变换是线性变换，满足叠加性与齐次性： $Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right),\,\,\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| z \right| < R_{x2} } \right)$ $Z\left\{ {y\left[ n \right]} \right\} = Y\left( z \right),\,\,\,\,\,\,\left( {R_{y1} < \left| z \right| < R_{y2} } \right)$ 那么 $Z\left\{ {ax\left[ n \right] + by\left[ n \right]} \right\} = aX\left( z \right) + bY\left( z \right),\,\,\,\left( {R_1 < \left| z \right| < R_2 } \right)$ 通常情况下 $R_1 = \max \left( {R_{x1} ,R_{y1} } \right),R_2 = \min \left( {R_{x2} ,R_{y2} } \right)$ ，即线性叠加信号z变换的收敛域是参与运算信号z变换收敛域的交集。但叠加后z变换如果出现零极点抵消，那么收敛域有可能扩大。

z变换是线性变换，满足叠加性与齐次性：可以表述为序列的线性组合的z变换，等于各自信号z变换的线性组合。线性叠加信号z变换的收敛域是?参与运算信号z变换收敛域的交集。 ?但叠加后z变换如果出现零极点抵消，那么收敛域有可能扩大。这部分后面会通过举例进行说明。
??

§02 应用举例

下面给出两个基本应用举例。

2.1 双曲余弦和正弦

第一个例子是求双曲余弦和正弦的z变换。这是双曲余弦和正弦的定义表达式，它们都是两个指数序列的叠加。所以根据z变换的线性特性，可以先求取两个单边指数序列的z变换，然后再将它们叠加在一起。

??求双曲余弦和双曲正弦的z变换： $x_c \left[ n \right] = \cosh \left( {n\omega _0 } \right)u\left[ n \right] = {{e^{n\omega _0 } + e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]$ $x_s \left[ n \right] = \sinh \left( {n\omega _0 } \right)u\left[ n \right] = {{e^{n\omega _0 } - e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]$

◎ 求解： 根据单边指数序列 $a^n u\left[ n \right]$ 的z变换的表达式 $z/\left( {z - a} \right),\left| z \right| > \left| a \right|$ ，所以 $Z\left\{ {e^{n\omega _0 } u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - e^{\omega _0 } }},\,\,\,\left( {\left| z \right| > \left| {e^{\omega _0 } } \right|} \right)$ $Z\left\{ {e^{ - n\omega _0 } u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - e^{ - \omega _0 } }},\,\,\left( {\left| z \right| > \left| {e^{ - \omega _0 } } \right|} \right)$
??根据 z 变换的线性性 $Z\left\{ {\cosh n\omega _0 u\left[ n \right]} \right\} = Z\left\{ {{{e^{n\omega _0 } + e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {2\left( {z - e^{\omega _0 } } \right)}} + {z \over {2\left( {z - e^{ - \omega _0 } } \right)}}$ ${{z\left( {z - \cosh \omega _0 } \right)} \over {z^2 - 2z\cosh \omega _0 + 1}}$

这是双曲余弦求取的过程。对于中间的化简推导就省略了。这里给出了最终的结果。

??使用同样的方法，可以得到 $Z\left\{ {\sinh n\omega _0 u\left[ n \right]} \right\} = Z\left\{ {{{e^{n\omega _0 } - e^{ - n\omega _0 } } \over 2}u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {2\left( {z - e^{\omega _0 } } \right)}} - {z \over {2\left( {z - e^{ - \omega _0 } } \right)}}$ ${{z\sinh \omega _0 } \over {z^2 - 2z\cosh \omega _0 + 1}}$

双曲正弦的求解方式也是一样。这里同样给出了它的结果。
有趣的是，双曲余弦和正弦的z变换与?三角余弦和正弦序列的z变换表达式的形式上基本是一样的。

2.2 有限长序列z变换

第二个例子用于说明序列的线性叠加后，有可能引起z变换的收敛域增加的情况。比如已知如下两个序列x[n],h[n]，求它们的差y[n]的z变换，并根据Y(z)的零极点分布，讨论Y(z)的收敛域。

??已知： $x\left[ n \right] = a^n u\left[ n \right],\,\,h\left[ n \right] = a^n u\left[ {n - N} \right]$ 求：
??（1） $Y\left( z \right) = Z\left\{ {y\left[ n \right]} \right\}$ ；
??（2） 绘制出 $Y\left( z \right)$ 的零、极点图；（假设 $N = 8$ ）；
??（3） 讨论 $Y\left( z \right)$ 的收敛域；

??◎ 求解：

下面我们讨论这个例题的三个问题。

??（1） $X\left( z \right) = {1 \over {1 - az^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > \left| a \right|$ $H\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {h\left[ n \right]z^{ - n} } = \sum\limits_{n = N}^\infty {a^n z^{ - n} } = {{a^N z^{ - N} } \over {1 - az^{ - 1} }},\,\,\left| z \right| > \left| a \right|$ 所以： $Y\left( z \right) = X\left( z \right) - H\left( z \right) = {{1 - a^N z^{ - N} } \over {1 - az^{ - 1} }} = {{z^N - a^N } \over {z^{N - 1} \left( {1 - a} \right)}},\,\,\,\left| z \right| > 0$

第一小问比较容易回答。 x[n],h[n]都是等比指数序列，所以很容易通过z变换公式分别求出X(z),H(z)。根据z变换的线性性， Y(z)等于X(z)-H(z)。这是给出的结果。
请大家注意，结果的收敛域为|z|>0，比起X(z), H(z)的收敛域来说，实际上扩张了。之所以这样，请看下面的零极点分析。

??（2） 在N=8情况下绘制零极点图。

极点： $a,\,\,z = 0$ （N-1）阶
零点：根据 $z^N - a^n = 0$ ，所以存在 $z_k = \left| a \right|e^{j{{2\pi k} \over N}} ,k = 0,1, \cdots ,N - 1$ N个零点。

??其中极点、零点都有 $z = a$ ，所以 $z = a$ 是一个可去奇点。下面给出了 N=8 时对应的零极点分布示意图。

▲ 图2.2.1 Y(z)的零极点分布示意图

▲ 图2.2.1 Y(z)的零极点分布示意图

??根据Y(z)的表达式，可以看到它具有两个极点，一个是为与z=a处的一阶极点；另外一个是位于原点处的N-1阶极点。它的零点是这个N次方程的解，在复数域内，它具有N个根，分别是|a|exp(j2 pi k / N)， k=0,1,…,N-1。

??这是绘制的N=8时，对应的零点与极点的分布图。可以看到z=a处发生了零极点抵消，所以z=a是一个可去奇点。最终Y(z)的极点只剩下在原点处的N-1阶极点。
??
这也使得Y(z)的收敛域比起原来两个序列x[n],h[n]的z变换收敛域扩充了。

??（3） 由于 $y\left[ n \right]$ 是一个有限长的序列，所以 $Y\left( z \right)$ 的收敛域是整个 z 平面，除去 $z = 0$ （原点）之外。

这个例题的第三问，在上面分析结果的零极点分布的时候?已经做了回答。这也符合任意有限长序列的z变换的收敛域的情况。有限长序列z变换收敛域为整个z平面，对于原点和无穷远点需要?根据序列是否具有n>0，以及n<0的项来分别讨论。这里就不在重复了。

§03 知识关联

??应用线性可以帮助我们将复杂信号拆解成简单信号，分别求取各自的z变换之后，再合成原来信号的z变换。

??同样，在利用因式分解方法进行z反变换的过程中，实际上也是暗含着使用了z变换的线性特性。

3.1 证明卷积定理

序列的卷积运算是一个复杂的运算，它包含着反褶、位移、相乘和累加。

$y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right] = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ m \right]h\left[ {n - m} \right]}$

根据线性，可以分别求取每一项的z变换

$Z\left\{ {x\left[ m \right]h\left[ {n - m} \right]} \right\} = x\left[ m \right]Z\left\{ {h\left[ {n - m} \right]} \right\} = x\left[ m \right] \cdot z^{ - m} H\left( z \right)$

上面最后一步是用到了双边z变换的位移特性。然后再根据z变换的线性特性，将上述每一项都累加在一起，便可以得到卷积后序列的z变换了。

$Y\left( z \right) = \sum\limits_{m = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ m \right] \cdot z^{ - m} \cdot H\left( z \right)} = X\left( z \right) \cdot H\left( z \right)$

上面最后一步，将H(z)提出，剩下的就是关于x[n]的z变换，所以它们卷积后的z变换等于两个序列各自z变换的乘积。这就是赫赫有名的卷积定理。后面我们会继续讨论到。

3.2 累加交换条件

Interchanging of order of summation
Why can we interchange summations? ：简单的讨论，给出了对于所有非负可以交换的条件。
Exchange of Order of Summation

??应用z变换的线性特性蕴含着我们重新交换累加和运算。

$Z\left\{ {\sum\limits_{k = 1}^N {a_k x_k \left[ n \right]} } \right\} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left( {\sum\limits_{k = 1}^N {a_k x_k \left[ n \right]} } \right)z^{ - n} } = \sum\limits_{k = 1}^N {a_k \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x_k \left[ n \right]z^{ - n} } } = \sum\limits_{k = 1}^N {a_k X\left( k \right)}$

此时，如果双重累加中的元素满足绝对可和，上述交换是成立的。 $\sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {\left| {a_k x_k \left[ n \right]z^{ - n} } \right|} } < + \infty$ 如果 z 处在每个序列的z变换收敛域内，上面双重累加满足绝对可和。z变换交换律是成立的。

??下面举一个奇怪的例子，来说明累加和交换中出现的问题。比如下面两个序列： $x\left[ n \right] = n \cdot u\left[ n \right],\,\,y\left[ n \right] = \left( { - 1} \right)^n n \cdot u\left[ n \right]$ 如果令 w[n]=x[n]+y[n]，那么w[n]的z变换为： $W\left( z \right) = X\left( z \right) + Y\left( z \right)$ 可以比较方便求出 X(z),Y(z)： $X\left( z \right) = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }},\,\,Y\left( z \right) = {{ - z} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }}$ 根据w[n]的表达式，可以知道它实际上为4nu[n]。 $w\left[ n \right] = n \cdot u\left[ n \right] + n \cdot \left( { - 1} \right)^n u\left[ n \right] = \left[ {1 + \left( { - 1} \right)^n } \right] \cdot n \cdot u\left[ n \right]$ $\left\{ {4,8,12,16, \cdots } \right\} = 4 \cdot n \cdot u\left[ n \right]$ 所以可以得到 $W\left( z \right) = {{4z} \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 那么就有如下表达式： $\over {\left( {z - 1} \right)^2 }} + {{ - z} \over {\left( {z + 1} \right)^2 }} = {{4 \cdot z} \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 从这个表达式考来看，除非 z=0，否则不会成立。但 z=0 又不在上述z变换的收敛域内。所以这就出现了矛盾。

??因此，这也说明 z 变换的交换性，也不是针对什么序列都能够满足的。在操作的过程中，需要小心。特别值得说明的是，上面表达式经过修改可以获得如下的表达式： $\over 3} \cdot {z \over {\left( {z + 1} \right)^2 }} = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }}$ 将其中的 z 使用 1 替换，方程式的左边等于 -1/12，右边实际上就是累加和 $\sum\limits_{n = 1}^\infty n$ 因此，这也就出现了所有的自然数的和?等于 -1/12 的奇怪的结论。