在数据结构中比较熟知的最小生成树的几种算法，知道可以这样去做，但是正确性却没有特别强调，也没有重点验证，下面从理论证明最小生成树的几种算法还有它们正确性的验证。
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一、概念
对一个带权重的无向连通图，有权重以后生成树的所有的权才有大小，如果权重都为1的话那就没有必要去比较了。
生成树的概念是首先有一个图，从图里面要找到一颗树来，这个树要包含所有顶点，树是连通的，从图里找出一些边来构造这个树，这个树的选择就有很多种，要包含这些点的路径就有很多种，但是其中有一个是最小的，比较的是最小的生成树的权重，所最小的生成树的权重如果能达到最小，那就是最小生成树。
G 的一棵生成树T 是包含了G 的所有顶点的树, 树中各边的权之和W(T) 称为树的权，具有最小权的生成树称为G 的最小生成树.
二、实例
1、图示
G=(V,E,W),V={1,2,3,4,5,6},W 如图所示.
E = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{3,6},{4,6},{5,6}}
左边是一个图，图里面连接的权重有顶点：1，2，3，4，5，6。顶点1与它相临的顶点有顶点2、3、4。顶点3相邻的顶点1、2、4、5、6……权重都在边上。
2、构造最小生成树
（1）从顶点1出发，权值最小的边是1，所以到达顶点3
（2）从顶点3出发，权值最小的边是4，所以到达顶点6
（3）从顶点6出发，权值最小的边是2，所以到达顶点4
（4）从顶点4出发，任意一条边都会构成回路，退回顶点6
（5）从顶点6出发，任意一条边都会构成回路，退回顶点3
（6）从顶点3出发，除权值为4外权值最小的为5，到达顶点2
（7）从顶点2出发，权值最小的边是3，所以到达顶点5
右边这颗树包含了所有顶点，这颗树里面有很多边，这些边的所有的权重加起来是最小的，其实它的构造过程就是由这些边来构成的，这些生成树由这些性质
三、性质
如果是生成树，这个树是没有环的，只有n-1条边，所有的顶点数是n，图G是n个顶点，接下来连接所有顶点。找到任何一颗生成树，如果在加入任何一条不在这颗树上的任意一条边，那么都会形成一个圈。
1、命题 设G是n 阶连通图
那么
(1) T 是G 的生成树当且仅当T 无圈且有n－1条边.
(2) 如果T 是G 的生成树，e?T，那么T∪{ e }含有一个圈C(回路).
把不在这个树以外的任何一条边加进来就形成圈了，在这个圈里面可以去掉任何一条边，由一颗生成树变化成另外一个生成树，这两个生成树之间有不同，所有点都在里面不同就只能在边上不同，另外一个不同就是生成树的权重（所有边之和）
(3) 去掉圈C的任意一条边，就得到G的另外一棵生成树T’
这些性质在证明Prim算法和Kruskal算法会在证明的时候用到
四、生成树性质的应用
如果能够改进生成树的性质，加上一条本来不在这个树里面的边，因为加进去之后形成回路，去掉一条边得到一个新的树。如果这个树的权重有降低的话，那就找到了一个更好的生成树。
1、算法步骤
选择边.
约束条件：不形成回路
截止条件：边数达到n-1.
2、改进生成树T 的方法
在T 中加一条非树边e , 形成回路
C,在C 中去掉一条树边ei，形成一棵新的生成树T’
五、求最小生成树
1、问题：
给定连通带权图G = (V, E, W)，w(e)∈W是边e 的权。求G 的一棵最小生成树。
在无向连接带权图里面，如何寻找一颗最小生成树，就是我们熟悉的Prim算法和Kruskal算法。
2、贪心法：
Prim 算法，Kruskal算法
生成树在网络中有着重要的应用，网络传输的时候有很多数据要从一个地方发到另外一个地方去，当这个网络拓扑是确定的情况下，知道传输代价的时候，怎么样让传输代价达到最小，那么数据的跳转，整个拓扑里找到通路。
