1.题目描述

462. 最少移动次数使数组元素相等 II

给你一个长度为 n 的整数数组 nums ，返回使所有数组元素相等需要的最少移动数。

在一步操作中，你可以使数组中的一个元素加 1 或者减 1 。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：2
解释：
只需要两步操作（每步操作指南使一个元素加 1 或减 1）：
[1,2,3]  =>  [2,2,3]  =>  [2,2,2]

示例 2：

输入：nums = [1,10,2,9]
输出：16

2.思路

2.1 代码

题目要求找到每一位数字移动的最小次数，因此考虑先对数组进行排序，然后取中位数，再对每一位依次和中位数进行对比即可。这个时候便会遇到数组个数是奇数和偶数两种情况：

数组个数是奇数的话直接取最中间元素即可，即 mid = nums.length / 2 ；
数组个数是偶数的话中位数有两个，即最中间两位，这个时候取这两个任意一位均可，证明如下：

假设数组 $nums={a_0,a_1,a_2...a_{mid-1},a_{mid}...a_{n-2},a_{n-1}}$ 。其中 n 为偶数， $a_{mid-1}$ 和 $a_{mid}$ 为该有序数组的两个中位数。
如果选择 $a_{mid-1}$ 进行操作，在角标 mid-1 之前的都是比 $a_{mid-1}$ 小的，之后都是比 $a_{mid-1}$ 大的，因此得到移动次数：
$\begin{aligned} times&=(a_{mid-1}-a_1)+(a_{mid-1}-a_2)+...+(a_{mid-1}-a_{mid-1})+(a_{mid}-a_{mid-1})+...+(a_{n-2}-a_{mid-1})+(a_{n-1}-a_{mid-1})\\ &=(-a_1)+(-a_2)+...+(-a_{mid-1})+a_{mid}+...+a_{n-2}+a_{n-1} \end{aligned}$
同理可得选用 $a_{mid+1}$ 进行操作的结果：
$\begin{aligned} times_2&=(a_{mid}-a_1)+(a_{mid}-a_2)+...+(a_{mid}-a_{mid-1})+(a_{mid}-a_{mid})+...+(a_{n-2}-a_{mid})+(a_{n-1}-a_{mid})\\ &=(-a_1)+(-a_2)+...+(-a_{mid-1})+a_{mid}+...+a_{n-2}+a_{n-1} \end{aligned}$
从上面结果可以看出 $t i m e s$ 和 $times_2$ 相等。
代码如下：

class Solution {
    public int minMoves2(int[] nums) {
        if (nums.length == 2) {
            return Math.abs(nums[0] - nums[1]);
        }
        Arrays.sort(nums);
        int mid = nums.length / 2;
        long ans1 = 0L;
        for (int num : nums) {
            ans1 += Math.abs(num - nums[mid]);
        }
        return (int) ans1;
    }
}