1. 完全背包问题概念

问题描述：
1）有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。
2）每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）（比0-1背包多出的条件）
3）求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
求解步骤：
1）首先遍历物品，然后遍历重量，都是从小到大遍历，顺序没有关系（因为性价比最高的只有一个）

2. 完全背包问题第一种：求最大价值（和题目描述一致）

代码

//1. 先遍历物品，再遍历重量最常见，也更好理解一点
public class demo2 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{15, 20, 30};
        int maxweight = 4;
        //1）dp数组的定义，默认初始化零
        int[] dp = new int[maxweight + 1];
		
		//2)遍历和迭代：先物品再重量，是正序
        for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
            for (int j = weight[i]; j <= maxweight ; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
    }
}

//2. 先遍历重量，再遍历物品
public class demo2 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = new int[]{1, 3, 4};
        int[] value = new int[]{15, 20, 30};
        int maxweight = 4;
        //1）dp数组的定义，默认初始化零
        int[] dp = new int[maxweight + 1];

        //2)遍历和迭代：先重量再物品，是正序
        for (int j = 0; j <= maxweight ; j++) {
            for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
                if(j>=weight[i]) dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
        System.out.println("dp=" + Arrays.toString(dp));
    }
}

3. 完全背包问题第二种：求最多的组合（类似0-1第二种）

题目描述：容量为k背包，存放物品int[] coins，装满有多少种可能性(每种物品有无限个）
注意：遍历先物品还是先重量是有区别的：

1）先物品再重量，那么就是组合数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

1）先重量再物品，那么就是排列数
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。
        for(int j=0;j<=amount;j++){
             for(int i=0;i<coins.length;i++){
               if(j>=coins[i]) dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

4. 完全背包的总结

4.1 第一类完全背包问题：：求最大价值

1）问题描述：若干个物品，每个物品有对应的重量和价值，当背包大小固定为K时，如何装存物品，使得背包中物品的价值最大？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：使用默认初值0；双层遍历，先正序遍历物品，再正序遍历重量或者先正序遍历重量，再逆序遍历物品，两种遍历方向都可以，但是必须都为正序遍历。

4.2 第二类完全背包问题：装满可能性

1）问题描述：容量为k背包，存放物品，装满有多少种可能性？其中同一种物品的个数不限制。
2）求解方法：
（1）：用一维dp数组：dp[0]=1；双层遍历
先正序遍历物品，再正序遍历重量,迭代方法为累加,求的是组合数；
先正序遍历重量，再正序遍历物品,迭代方法为累加,求的是排列数。

4.3 0-1背包和完全背包的区别：就在重量是否是正逆序上面。

第一题：518.零钱兑换II（完全背包第二类问题：组合数）

题目描述

```


2. 步骤
1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了组合数，所以需要先遍历物品，再遍历重量。
4. 代码
```java
//1. 求组成的种类，因为是完全背包，故重量也是从小到大
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp =new int[amount+1];
        dp[0]=1;

        //2)dp数组遍历和迭代  //迭代公式一定要记住，是一个累加的过程。//先物品再重量
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]= dp[j-coins[i]] + dp[j];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

第二题：377.组合总和IV（完全背包第二类问题，考虑排列数）

题目描述
解题步骤
1）就是第二类完全背包问题，求背包满的种类数，只是这里用了排列数，所以需要先遍历重量，再遍历物品。
代码：

    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        //定义dp数组，并初始化
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[0]=1;

        //迭代遍历：先金额，再硬币种类
        for(int i=0;i<=target;i++){
            for(int j=0;j<nums.length;j++){
                if(i>=nums[j]) dp[i]+=dp[i-nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];

    }

第三题：70.爬楼梯（完全背包第二类问题，考虑排列数）

题目描述

解题思路
1）这是之前出现的一道题目，用斐波那契算法类似的。
2）也可以从完全背包方面进行解析。
代码

//以前的思路
public int climbStairs(int n) {

        //1）斐波那契算法
        int[] dp=new int[n+1];
        if(n<=2) return n;
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];

    }

//完全背包的思路
    public int climbStairs(int n) {
        //完全背包问题:两个物体【1和2】，背包的大小为n,物品的个数为无限
        //求解符合要求的情况有多少种，求排列数

        //1)dp数组的定义和初始化
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;

        //2）遍历和迭代:先背包，后物品，正序
        for(int i=0;i<=n;i++ ){
            for(int j=1;j<=2;j++){
                if(i>=j) dp[i]+=dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }

第四题：322.零钱兑换（完全背包第一类问题，求最小值）

题目描述

解题步骤
1）先遍历物品，再遍历钱；
2）dp[ i] 数组的含义为：为了凑成总金额所需的最少硬币个数
3）迭代公式：
（1）：加入硬币i,故其硬币总数为：dp[ j-weight[ i ] ]+1
（2）：不加入硬币i,故其硬币维持之前的为：dp[ j ]
代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        //核心思路：这是一个典型的完全背包问题，两层遍历，从前向后，只是迭代公式不一样
        //迭代公式：dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)
        
        //dp数组的新建和初始化(第一个为0，剩下的初始为最大值max)
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp=new int[amount+1];
        for(int i=1;i<amount+1;i++){
            dp[i]=max;
        }
        //System.out.println("dp1="+ Arrays.toString(dp));

        //遍历（没有顺序） 
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                //易错点：如果退回去的值dp[j-coins[i]]=max,那么这一步就不算数
                if(dp[j-coins[i]]!=max) dp[j]=Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1);
            }
        //System.out.println("dp="+ Arrays.toString(dp));
        }
        //返回判断：如果最后时max,则不能够组成
        return dp[amount]==max?-1 : dp[amount] ;
    }
}

注意点：
1）初始化数组的时候，因为要比较的是最小值，所以第一个值初始化为0，后面的初始化应该为比较大的值（相对于于比较最大值的区别）
2）在中间比较的时候，当之前的硬币数数有效时，即不是初始值的时候，才是有效的，进行判断才有价值。

第五题：279.完全平方数（完全背包第一类问题，求最小值）

题目描述

解题步骤
1）此题和上一题一模一样，只是需要通过给定的n，然后自己给出物品数组
代码

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        //1）根据给定的值，得出物品的集合
        int[] things=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++) things[i]=i*i;
        //System.out.println(Arrays.toString(things));

        //2)初始化dp数组
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=max;
        //System.out.println(Arrays.toString(dp));    

        //3)遍历和迭代
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=things[i];j<=n;j++){
            if(dp[j-things[i]]!=max) dp[ j ]=Math.min(dp[j-things[i]]+1, dp[j]);
            }
        } 
              
        //4）输出
        return dp[n];

    }
}

第六题：139.单词拆分？（完全背包第一类问题，求可能不可能）

题目描述

解题步骤
1）dp[i] :即从0-i个字符，是否都在wordDict里面能够找到对应的值；可能是全部，可能是一部分。
2）迭代公式：
（1）：把s的前i个字符分为两部分：如果前面一部分已经判断能够找到，剩下的一部分能够凑成一个单词，那么就可以判定为true了。
3）遍历顺序：遍历背包放在外循环，将遍历物品放在内循环。内循环从前到后。
代码

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        //完全背包问题:数组就是硬币,字符串就是金钱

        //1)数组的定义和初始化:boolean[] 默认值为false;
        boolean[] dp=new boolean[s.length()+1];
        dp[0]=true;  //dp[0]=true;

        //2)遍历迭代：先重量，后物品
        for(int i=1;i<=s.length();i++){  //**遍历背包**
            for(int j=0;j<i;j++)    //**遍历物品**
            //前一部分  dp[j]=s.substring(0,j+1)在字典中能够找到
            //后一部分：wordDoct.contains(s.substring(j,i) 能够找到对应的单词
            if( dp[j] && wordDict.contains(s.substring(j,i)) ) dp[i]=true;
        }

        //3)输出：
        return dp[s.length()];
    }
}

7. 多重背包问题

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。
与0-1背包问题区别：0-1背包问题每件物品个数为1，而多重背包为设定的值x
求解思路：直接在0-1背包问题上面进行改写：先遍历物品，再遍历重量，然后再加一层循环，即遍历物品的个数，就可以解出来了。

8. 总结：

完全背包第二类问题：求解装满背包的种类：
（0）：迭代公式：dp[j] += dp[j - nums[i]]
（1）：组合数：518.零钱兑换II
（2）：排列数：377.组合总和IV，70.爬楼梯
完全背包第一类问题：问装满背包所有物品的最小个数：
（0）：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
（1）：322.零钱兑换
（2）：279. 完全平方数