[数据结构与算法]信息学奥赛一本通 1296：开餐馆 | OpenJudge NOI 2.6 6045:开餐馆

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ybt 1296：开餐馆
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【题目考点】

1. 动态规划：线性动规

【解题思路】

本题与求最长上升子序列的方法类似

1. 状态定义

集合：选择地点开餐馆的方案
限制：在前几个地点中选择
属性：总利润
条件：最大
统计量：利润
（用类似求最长上升子序列中的“以第i元素为结尾的最长上升子序列“的定义方法，来构造本题的状态。）
状态定义：dp[i]：在前i个地点中选择地点开餐馆且确定要在第i地点开餐馆，餐馆之间距离大于k，能够获得的最大利润。

2. 状态转移方程

记在第i地点开餐馆的利润为p[i]，第i地点的位置为m[i]。
集合：在前i个地点中选择地点开餐馆且确定要在第i位置开餐馆的方案
分隔集合：第i地点餐馆的前一个餐馆的位置

• 如果只在第i地点开餐馆，其它地方不开，那么能获得的最大利润为dp[i] = p[i]
• 如果在第i地点餐馆的前面的位置还要开餐馆，那么前一个餐馆的位置为第j地点。由于两餐馆间距离必须大于k，所以必须满足m[i] - m[j] > k。
  j从1开始循环到i-1，同时要满足m[i] - m[j] > k，对于每一个可能的第i地点餐馆前一个餐馆的地点j，可以得到：前j个地点中选择地点开餐馆，且在第j地点开餐馆能获得的最大利润dp[j]，再加上第i地点开餐馆的利润p[i]，即为在前i个地点中选择地点开餐馆且在第i地点开餐馆能得到的最大利润。dp[i] = dp[j] + p[i]
• 以上所有情况取最大值

由于最后一个餐馆的位置可以是任意位置，最终能获得的最大利润为整个dp数组的最大值。

【题解代码】

解法1：线性动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int dp[N], m[N], p[N];//dp[i]:在前i个地点中选择地点开餐馆且确定要在第i位置开餐馆，餐馆之间距离大于k，能够获得的最大利润。
int main()
{
	int t, n, k, mx;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		memset(dp, 0, sizeof(dp));//注意数据清空 
		mx = 0;//最大利润 
		cin >> n >> k;
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			cin >> m[i];
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
			cin >> p[i];
		for(int i = 1; i <= n; ++i)
		{
            dp[i] = p[i]; 
			for(int j = 1; j < i && m[i] - m[j] > k; ++j)
				dp[i] = max(dp[i], dp[j] + p[i]);
			mx = max(mx, dp[i]);
		}
		cout << mx << endl;
	}
	return 0;
}