[数据结构与算法]【往期真题】—— 2022高考数学全国 I 卷参考答案

写在前面

本人为2018届浙江卷考生，目前大四即将毕业（非数学专业），平时爱好数学，比较关心每年的高考数学卷情况，故斗胆尝试一下全国 I 卷。只挑选了一些压轴题，并且答案并非官方答案，仅供参考，后续也欢迎交流补充。应届考生也请高考结束后再浏览本帖，以免影响后续考试。

选择题 7

答案：C

解：本题考察代数构造。使用 Taylor 公式在 0 处的展开式（应该是最快的）


计算两项后发现， a = 0.1105…，b = 0.1111…，c = 0.095…，故 c < a < b，选 C。

选择题 8

答案：C

解：本题考察立体几何。选择题一般采用 “先猜后证” 的思想，采用特殊点代入法去求出边界可以节约时间。但这个题需要仔细一点，题目问的是取值范围，所以并不意味着边界值一定是最大的，这里一开始我也踩坑了。。。

球体积 36Π 可知半径 R = 3，我们以正四棱锥底部正方形对角线为破面画出侧视图，其中 AB 为直径 = 6；AP 为棱长，且 P 是个动点，移动范围为 P 到 Q 的圆周上，AP = 3，AQ = 3√3 （可通过定理《直径所对应的圆周角为90°》计算得出）。显然在 P 点，整个正四棱锥的体积是最小的，此刻可以算出正方形底面边长为 3/2√6（注意 PP’ 是对角线长度而非边长），面积为 27/2，高为 3/2，求出此时体积 S = 1/3 x 27/2 x 3/2 = 27/4。之后同理代入 Q 时的位置可以算出体积为 81/4，但是这是选择题最后一题，肯定是有坑的，当时直觉选了 C，之后计算验证后发现当高为 4 的时候，体积正好为 64/3，而且大于 81/4，故选C。

多选题 12

答案：未知

解：本题考察导函数与奇偶性。已知 f(3/2-2x) 是偶函数，可以写成 f(-2(x-3/4)) 我们首先可以通过平移变换得到原函数 f(x) 是关于 x = -3/4 轴对称，并且偶函数的导数是奇函数，所以 g(x) 在 x = -3/4 处中心对称。同理，我们还可以得到 g(x) 是关于 x = 2 轴对称的，f(x) 是关于 x = 2 中心对称。

填空题 16

答案：13

解：本题考察圆锥曲线。这道题基本上是纯计算，没有什么技巧，唯一的技巧就是要发现 DE 是 AF2 的垂直平分线，从而将 ADE 的周长转移为求解 DE + DF2 + EF2 = 4a（椭圆的性质），从而将本题转化为求 a 的值。

设 DE 为 y = √3/3(x+c)，联立椭圆方程，并替换 c = 1/2a，b = √3/2a，最后得到关于 a 的 x 的方程式
$$13x^2+4ax?8a^2=0$$
因此可以得到 D 和 E 的横坐标（假设 x1 在左边）
$$x_1=\frac{?4a?\sqrt{432a^2}}{26},x_2=\frac{?4a+\sqrt{432a^2}}{26}$$
由于 DE 长度为 6，因此我们知道 x1 和 x2 的横坐标距离为 3√3，因此就有
$$x_2?x_1=\frac{\sqrt{432a^2}}{13}=3\sqrt{3}$$
计算得出 a = 13/4，故 ADE 周长为 4a = 13。

计算题 21

答案：（1） -1 （2）16/9√3

解：本题考察圆锥曲线，这个压轴题没有什么要注意的地方，只需要仔细确保计算不出错。特别注意，双曲线算出来之后一定要验证一下，不然后面都是徒劳。双曲线为：
$$\frac{x^2}{2}?y^2=1$$
(1) 问建议设 l 为 y = kx + b，之后与双曲线联立方程组，化简整理得含有 k、b 的 x 的方程式：
$$(1?2k^2)x^2?4kbx?(2b^2+2)=0$$
通过韦达定理计算出 P 和 Q 的两根和与两根积：
$$x_1+x_2=\frac{4kb}{1?2k^2}$$
$$x_1{x}_2=\frac{?(2b^2+2)}{1?2k^2}$$
然后使用题目条件 AP、AQ 斜率之和为 0 列出方程：
$$\frac{y_1?1}{x_1?2}+\frac{y_2?1}{x_2?2}=\frac{2k{x}_1{x}_2+(b?1?2k)(x_1+x_2)?4b+4}{x_1{x}_2?2(x_1+x_2)+4}=0$$
整理得
$$2k^2+(b+1)k+(b?1)=(k+1)(2k+b?1)=0$$
要么 k = -1，要么 2k + b - 1 = 0，显然后者是不可能的，因为后者是过点 A 的直线，与题意不符，因此 k = -1。

(2) 问可以采用水平宽 x 铅锤高来计算面积。由于∠PAQ 是由两个相同的角相加得到的，这里我们假设 P 在 Q 左边，因此可以先通过反二倍角公式算出单个角的正切值为 -√2（舍去，0~90° 内的正切值为正）或 √2/2。

假设 P(x1, y1)，则有
$$\frac{1?y_1}{2?x_1}=\sqrt{2}$$
因为 P 在双曲线上，因此与双曲线联立方程即可求出 P 的坐标。整理方程后得到
$$3x_1^2+(4\sqrt{2}?16)x_1+(20?8\sqrt{2})=(x?2)(3x+4\sqrt{2}?10)=0$$
因此 P横坐标 x1 = (10-4√2)/3，纵坐标 y1 = (4√2-5)/3，因此 b = 5/3。
水平宽 |x1-x2| = √Δ/a = 4/3√8，铅锤高 = 4/3，因此面积
$$S=\frac{1}{2}?\frac{4\sqrt{8}}{3}?\frac{4}{3}=\frac{16\sqrt{2}}{9}$$

计算题 22

答案：（1） a = 1 （2）略

解：本题考察导数。这个大轴题比我预想中要简单很多，(1) 问简单求个导就能算出 a = 1，(2) 考察的是一个中心对称的基本结论。求 y 与 f(x) 和 g(x) 的交点可以分成两个部分：f(x) 与 x+b 直线的交点，以及 g(x) 与 x-b 直线的交点（如下图）。可见图中 f(x) 和 g(x) 中心对称，x+b 和 x-b 也是中心对称的，那么必有如下结论：
$$x_1+x_4=x_2+x_3$$
题中改为等差数列其实就是 x2 与 x3 相等的情况，即求证
$$x_1+x_4=2x_2$$
那么结论是显然的。