[数据结构与算法]数据结构和算法入门

定义

数据结构就是指一组数据的存储结构，算法就是操作这组数据的一组方法。

学习方法

数据结构和算法不用死记，我们要学习它的“来历”“自身的特点”“适合解决的问题”以及“实际的应用场景”，尽量手写实现。

复杂度分析

数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以时间和空间就是衡量一个算法执行效率的总要指标。

时间复杂度

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

这段代码的时间T(n)=2+2n，这里的低阶、常量、系数都不会左右代码执行时间的增长趋势，所以可以直接忽略，即这段代码的时间复杂度为O(n)。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

• 1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
• 2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
• 3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见的时间复杂度

O(1)、O($logn$)、O(n)、O($nlogn$)、O($n^2$)、O($n^3$)…

1. O(1)
   只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
2. O($logn$)、O($nlogn$)

 int i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

这段代码的执行次数为x，$2^x$=n，x=$lo{g}_{2}n$，如果代码里面2变为3，则推倒公式为:
$3^x$=n，x=$lo{g}_{3}n$=$lo{g}_{3}2?lo{g}_{2}n$。

在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即时间复杂度都为$O(logn)$。

最好、最坏、平均时间复杂度

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

这段代码是在一个数组中找到元素x的位置，找到过后结束。
这里最好和最坏分别是X元素第一个位置和在最后一个位置，即O(1)和O(n)。这里极端情况发生概率不是很大，所以我们需要计算平均时间复杂度。

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：
1+2+3+……+n+n/n+1 = n(n+3)/2(n+1)，即时间复杂度为O(n)

空间复杂度

表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }
}

这里i=0申请了一个空间，但是这是一个常量不能左右趋势，所以这里忽略，下一行代码申请了一个数组空间，且申请的空间会随着n的变大而变大，后续代码没有申请新的空间了，即这段代码的空间复杂度为O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )。
存储数据需要一个大小为 n 的数组，并不是说空间复杂度就是 O(n)。因为，这 n 个空间是必须的，无法省掉。所以我们说空间复杂度的时候，是指除了原本的数据存储空间外，算法运行还需要额外的存储空间。