[数据结构与算法]数据结构与算法之哈夫曼树

带权路径长度

1. 结点的权：有某种现实含义的数值 (如：表示结点的重要性等)
2. 结点的带权路径长度：从树的根到该节点的路径长度 (经过的边数) 与该结点上权值的乘积
3. 树的带权路径长度：树中所有叶节点的带权路径长度之和 (WPL,Weighted Path Length)
   

哈夫曼树的定义

在含有 n 个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

哈夫曼树的构造

给定 n 个权值分别为 $w_1$,$w_2$,…,$w_n$的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

1. 将这 n 个结点分别作为 n 棵仅含有一个结点的二叉树，构成森林 F。
2. 构造一个新节点，从 F 中选取两颗根节点权值最小的树作为新根结点的左、右子树，并且将新节点的权值置为左、右子树上的根节点的权值之和。
3. 从 F 中删除刚才选出的两颗树，同时将新得到的树加入 F 中。
4. 重复步骤 2 和 3，直至 F 中只剩下一颗树为止。

大白话说明

题目

步骤

1. 首先将给出的序列排序
   1. 原数列：19，21，2，3，6，7，10，32
   2. 排序后：2，3，6，7，10，19，21，32
2. 选出两个==最小==的树
   1. 这里是 2,3
3. 将选出的两个数从数列中去除并且将两个数的和放入数列中
   1. 5，6，7，10，19，21，32
4. 重复第一步，直到数列为空。

视频链接如下：
https://www.bilibili.com/video/BV1wX4y1M7TG?spm_id_from=…search-card.all.click

构造步骤如下图：

1. 
2. 
3. 
4. 
   此时树的带权平均路径是最小的，且为：$WP{L}_{min}=1?7+2?3+3?2+4?1+4?2=31$

注意

1. 每个初始结点最终都称为叶节点，且权值越小的结点到根节点的路径长度越大
2. 哈夫曼树的结点总数为 $2n?1$
3. 哈夫曼树中不存在度为 1 的结点
4. 哈夫曼树并不唯一，但 WPL 必然相同且为最优。
   

哈夫曼编码

电报——点、划两个信号 (二进制 0/1)
固定长度编码——每个字符用相同长度的二进制位表示

ASCII 编码

A —— 0100 0001  
B —— 0100 0010  
C —— 0100 0011  
D —— 0100 0100

每个字符用长度为 2 的二进制表示 (减少长度，提高空间的利用率)

A —— 00  
B —— 01  
C —— 10  
D —— 11

假设，100 个题有 80 题选 C，10 题选 A，8 题选 B，2 题选 D
所有答案的二进制长度为：$80?2+10?2+8?2+2?2=200$bit，而这个转换成树结构为：

按照：左为 0，右为 1 的原则

此时 WPL：200，思考是否可以在优化？使用哈夫曼树进行排列，如下图

1. C–0（树的路径）
2. A–10
3. B–111
4. D—110
   

为什么使用叶子节点存储选项

首先，假设使用非叶子节点存储数据，结构如下图：

假如传输的数据是：CAAABD，转换成编码就是：0111111110，而此时连续的 111111 就是给解码方带来困惑，会有多种解读意思。

1. 可变长度编码：允许对不同字符用不等长的二进制位表示。
2. 若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码。
3. 前缀解码无歧义，非前缀解码有歧义
4. 有哈夫曼树得到的哈夫编码——字符集中的每个字符作为一个叶子节点，各个字符出现的频度作为节点的权值，根据之前的介绍 构造哈夫曼树。
5. 哈夫曼树编码不唯一
   

考点

计算英语字母频次

知识回顾与重要考点