[数据结构与算法]416. 分割等和子集

416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。
示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

思考

开始实在想不起来 先用暴力法吧 结果用回溯法超时了 = =

假设本集合的总和为sum，集合中最大的数值为 maxNum其实本题的任务就是找到一个和为target = sum/2的集合

• 如果sum%2≠0，就是sum是奇数，返回false
• 如果maxNum>target 返回false
• 如果 maxNum ==target返回true

我们假设这个集合可以取到一个子集其和为target，那么另外一个子集之和也为target

所以我们只需找个一个子集的最大值为target即可

我们可以转化为01背包问题，这道题与传统的「0-10?1 背包问题」的区别在于，传统的「0-10?1 背包问题」要求选取的物品的重量之和不能超过背包的总容量，这道题则要求选取的数字的和恰好等于整个数组的元素和的一半。

• 背包的容量为target
• 每个元素的重量为其值
• 每个元素的价格为其值

确定dp数组及下标含义

dp[i][j] 表示0-i个物品可以装进重量为j的背包的最大价值

确定转移方程

• nums[i] ≥ j
  • dp[i][j] = max( nums[i] + dp[i-1][j - nums[i] ], nums[i-1][j] )
• nums[i]<j
  • dp[i][j] = dp[i-1][j]

初始化数组

很简单

完善dp数组

也不难

这里面用了点像回溯法的剪支，如果当前包里装的最大值大于target，就不用继续扫描后面的元素了。

    public boolean canPartition(int[] nums) {
       int maxNum = Integer.MIN_VALUE;
       int sum = 0;
       int target = 0;
       for (int i=0;i<nums.length;i++){
           if(nums[i]>maxNum) maxNum=nums[i];
           sum = sum + nums[i];
       }
       target = sum/2;
       if(sum%2!=0) return false;
       if(maxNum>target) return false;
       if(maxNum==target) return true;
       int bag=target+1;
       int[][] dp=new int[nums.length][bag];

       // 初始化dp数组
        for (int j =0;j<bag;j++){
            if(nums[0] <= j){
                dp[0][j] = nums[0];
            }
            else dp[0][j] = 0;
        }

        for (int i=1;i<dp.length;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }

        //完善dp数组
        for (int i =1;i<dp.length;i++){
            for (int j=1;j<bag;j++){
                if(nums[i]>j){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }
                if(nums[i]<=j){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],nums[i]+dp[i-1][j-nums[i]]);
                }
                if(dp[i][j]==target) return true;
                if(dp[i][j]>target) break;
            }
        }
        for (int i =0;i<dp.length;i++){
            for (int j=0;j<bag;j++) {
                System.out.print(dp[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        return false;
    }