算法介绍

Dijkstra 算法主要用来求不含负权边的单源最短路，即它先求出长度最短的一条路径，再参照该最短路径求出长度次短的一条路径，直到求出从源点到其他各个顶点的最短路径。

朴素版dijkstra

原题链接

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 ?1。
1 ≤ n ≤ 500 , 1 ≤ m ≤ 1e5

基本思路

用一个bool数组st将已确定最短路的点标记
1.首先将起点初始化距离
2.循环n次，每次找到未被标记且距离起点最近的点X，然后用X去更新邻接点到起点的距离。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int g[N][N]; //为稠密阵所以用邻接矩阵存储
int dist[N];  //用于记录每一个点距离第一个点的距离
bool visited[N]; //用于记录该点的最短距离是否已经确定

int n, m;

int dijkstra()
{
  memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
  dist[1] = 0; //第一个点到自身的距离为0
  for(int i = 1; i <= n; i++)
  {
      int t = -1;
      for(int j = 1; j <= n; j++)
      {
          if(!visited[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))  //该步骤即寻找还未确定最短路的点中路径最短的点
              t = j;
      }
      visited[t] = true; //因为我们每次都是用路径最短的点去更新其他点，所以此时找到的点一定是最短的，不会存在其他更短的点
      for(int j = 1; j <= n; j++) //依次更新每个点所到相邻的点路径值
          dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
  }
  if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;  //如果第n个点路径为无穷大即不存在最低路径
  return dist[n];
}

int main()
{
  scanf("%d%d", &n, &m);

  memset(g, 0x3f, sizeof(g));  //初始化图 因为是求最短路径
                              //所以每个点初始为无限大

  while (m--)
  {
      int x, y, c;
      scanf("%d%d%d", &x, &y, &c);
      g[x][y] = min(g[x][y], c); //如果发生重边的情况则保留最短的一条边
  }
  cout << dijkstra() << endl;
  return 0;
}

堆优化dijkstra

原题链接

题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 ?1。
1 ≤ n, m ≤ 1.5e5

基本思路

堆优化版的dijkstra是对朴素版dijkstra进行了优化，在朴素版dijkstra中时间复杂度最高的寻找距离最短的点O(n^2)可以使用最小堆优化。

起点的距离初始化为零，其他点初始化成无穷大。
将起号点放入堆中。
不断循环，直到堆空。每一次循环中执行的操作为：
弹出堆顶（与朴素版diijkstra找到未被标记距离最短的点相同，并标记该点的最短路径已经确定）。
用该点更新临界点的距离，若更新成功就加入到堆中。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 150010; 

// 稀疏图用邻接表来存
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int w[N]; // 用来存权重
int dist[N];
bool st[N]; // 如果为true说明这个点的最短路径已经确定

int n, m;

void add(int x, int y, int c)
{
 w[idx] = c; // 有重边也不要紧，假设1->2有权重为2和3的边，再遍历到点1的时候2号点的距离会更新两次放入堆中
 e[idx] = y; // 这样堆中会有很多冗余的点，但是在弹出的时候还是会弹出最小值2+x（x为之前确定的最短路径），并
 ne[idx] = h[x]; // 标记st为true，所以下一次弹出3+x会continue不会向下执行。
 h[x] = idx++;
}

int dijkstra()
{
 memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
 dist[1] = 0;
 priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; // 定义一个小根堆
 // 这里heap中为什么要存pair呢，首先小根堆是根据距离来排的，所以有一个变量要是距离，其次在从堆中拿出来的时    
 // 候要知道知道这个点是哪个点，不然怎么更新邻接点呢？所以第二个变量要存点。
 heap.push({ 0, 1 }); // 这个顺序不能倒，pair排序时是先根据first，再根据second，这里显然要根据距离排序
 while(heap.size())
 {
     PII k = heap.top(); // 取距离最短的点
     heap.pop();
     int ver = k.second;

     if(st[ver]) continue; //如果被更新过直接跳过
     st[ver] = true;

     for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
     {
         int j = e[i]; // i只是个下标，e中在存的是i这个下标对应的点。
         if(dist[j] > distance + w[i])
         {
             dist[j] = distance + w[i];
             heap.push({ dist[j], j });
         }
     }
 }
 if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
 else return dist[n];
}

int main()
{
 memset(h, -1, sizeof(h));
 scanf("%d%d", &n, &m);

 while (m--)
 {
     int x, y, c;
     scanf("%d%d%d", &x, &y, &c);
     add(x, y, c);
 }

 cout << dijkstra() << endl;

 return 0;
}