[数据结构与算法]【算法题】LeetCode691、贴纸拼词（剪枝+记忆化搜索）

hello hello，好久不见。

今天我们来看一道算法题：LeetCode691 贴纸拼词。这是一道hard难度的题，还是很有难度的。

题意：给你一堆贴纸stickers，和一个英文单词。每一种贴纸都有无限张，并且每一张贴纸能剪切成一个个的字母。

现在问你，如何用最少的贴纸，组成这个英文单词？请返回最少贴纸张数。

分析：动态规划刷的多的同学，应该能够反应过来，这是一道类似于背包问题的dp题。尝试思路是：第一张贴纸，我用、1张、2张……，这样去尝试；第二张贴纸，我用、1张、2张……。一直尝试到最后一张贴纸。只要英文单词target变为空字符串，那么我们就尝试成功了，这就是其中一种尝试方法。

1、递归版本

代码框架：

// 主函数
public int minStickers(String[] stickers, String target) {
    if (stickers == null || stickers.length == 0 || target == null || target.length() == 0) {
        return 0;
    }
    int ans = process(stickers, target); // 调用递归函数
    return ans == Integer.MAX_VALUE ? -1 : ans;
}

// 递归函数：返回 拼target字符串，最少需要多少贴纸？
public int process(String[] stickers, String target) {
    
}

那么现在我们只需要填好递归函数，这个代码就算写完了。

根据分析，只要target变为空字符串，那么我们就可以直接返回了。所以递归结束条件：if (target.length() == 0) return 0;

接下来就是尝试，用第一张贴纸去试试，然后调用递归函数；用第二张贴纸去试试，然后调用递归函数……

// 递归函数：返回 拼target字符串，最少需要多少贴纸？
public static int process(String[] stickers, String target) {
    if (target.length() == 0) {
        return 0;
    }
    int min = Integer.MAX_VALUE; // 
    for (String first : stickers) {
        // 用first字符串去试试，能消除target多少个字母
        String rest = minus(target, first); // 消除一定的字符
        // 如果first字符串，一个也没消除掉，
        // 就不用调用后续递归函数，以免造成死递归
        if (rest.length() != target.length()) { // 确实是first消除了一些字符后，调用后续过程
            min = Math.min(min, process(stickers, rest));
        }
    }
    // 返回结果之前，要判断min是不是Integer.MAX_VALUE
    // 不然直接+1，会造成溢出。
    return min == Integer.MAX_VALUE ? min : min + 1; // 加上当前这一个位置的帖纸
}

// 根据str字符串，消除在target中的字符
public String minus(String target, String sticker) {
    int[] count = new int[26];
    for (char ch : target.toCharArray()) {
        count[ch - 'a']++;
    }
    for (char ch : sticker.toCharArray()) {
        count[ch - 'a']--;
    }
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
        while (count[i]-- > 0) {
            sb.append((char) (i + 'a'));
        }
    }
    return sb.toString();
}

这个递归版本，在LeetCode中，能够一部分用例，其他用例没通过的原因就是，这个递归函数调用了很多重复计算的子过程。所以需要在递归版本的基础之上，再次进行优化。

2、剪枝版本

所谓剪枝，可以这么理解，实际在递归调用的时候，递归调用的展开图如下：

也就是说，在某一个递归调用的过程中，额外加的if语句不成立，导致递归函数没必要调用后续的过程，直接返回上一层调用，这样的行为就称为剪枝。

那么这道题，应该如何剪枝？举个例子：

假设 target = “hello”，按照上面的递归版本的代码会这样调用：

for() {

? 删除第一个h，递归调用后续；

? 删除第二个e，递归调用后续；

? 删除第三个l，递归调用后续；

? ……

}

你会发现，在这一个for循环中，居然枚举了删除每一个字母的过程，看上去好像并没有什么问题。但仔细想想，有必要吗？

其实并没有必要，比如说 这一层递归函数消除h，和下一层递归函数消除h，这两个并没有什么本质上的区别，其目的就是为了使target变为空字符串。如下图所示：

代码如下，稍微有些改动，以前的帖纸是以字符串数组来存储的，我们需要稍微调整一下，用二维数组存储，一行表示一种贴纸，一列表示这种贴纸中的字母数量，也就是词频统计嘛。

// 剪枝之后的递归版本
public int minStickers(String[] stickers, String target) {
    if (stickers == null || stickers.length == 0 || target == null || target.length() == 0) {
        return 0;
    }
    int N = stickers.length;
    int[][] stickers2 = new int[N][26]; // 用二维表存储所有的帖纸
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (char ch : stickers[i].toCharArray()) {
            stickers2[i][ch - 'a']++;
        }
    }  
    int ans = process2(stickers2, target);
    return ans == Integer.MAX_VALUE ? -1 : ans;
}

// 递归函数--剪枝版本
public int process2(int[][] stickers, String target) {
    if (target.length() == 0) {
        return 0;
    }
    int min = Integer.MAX_VALUE;
    int[] count = new int[26];
    for (char ch : target.toCharArray()) {
        count[ch - 'a']++;
    }
    char firstCh = target.charAt(0); // target第一个字母
    for (int i = 0; i < stickers.length; i++) {
        // 剪枝优化，当前递归，只需要解决target的第一个字符即可，后续的不用管，交给其他调用
        if (stickers[i][firstCh - 'a'] > 0) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            // 消除target中的字母
            for (int j = 0; j < 26; j++) {
                int nums = count[j] - stickers[i][j]; // target 减掉 帖纸相应的字符
                for (int k = 0; k < nums; k++) {
                    sb.append((char) (j + 'a'));
                }
            }
            String rest = sb.toString(); // 生成rest字符串
            min = Math.min(min, process2(stickers, rest));
        }
    }
    return min == Integer.MAX_VALUE ? min : min + 1;
}

剪枝版本的代码虽然做到了一定的优化，但是在LeetCode上，还是会超时。这就需要再优化成动态规划版本了。

3、动态规划版本

从递归版本的代码可以看出，递归函数process在调用的过程中，形参只有一个target在变化，所以在我们以前的惯性思维中，只有一个可变参数，那我搞一维数组就能搞定了。

但是，用一维数组在这道题能行的通吗？好像并不可以。为什么？

原因在于如果用一维数组，这个数组我应该开辟多大的空间？这个空间的大小是根据target的变化范围来定的。而target的变化范围并不是很好计算。那么这道题用一维数组，不太可行。

只能用记忆化搜索。

既然可变参数是一个字符串类型，那么用哈希表存储，就能解决这个问题了。改记忆化搜索版本，也比较简单，在递归函数中，随身带着这个哈希表即可，其他的代码不用改，还是用剪枝版本的即可。

// 记忆化搜索版本--无法根据递归版本解出具体的dp表，因为递归函数的可变参数，无法计算出具体的参数范围
// 又或者说，这个具体的参数范围大到已经没必要进行优化了，所有就用哈希表来搞记忆化搜索即可
public static int minStickers(String[] stickers, String target) {
    if (stickers == null || stickers.length == 0 || target == null || target.length() == 0) {
        return 0;
    }
    int N = stickers.length;
    int[][] stickers2 = new int[N][26];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (char ch : stickers[i].toCharArray()) {
            stickers2[i][ch - 'a']++;
        }
    }
    // 哈希表存储
    HashMap<String, Integer> dp = new HashMap<>();
    dp.put("", 0); // base case
    // 只需递归过程中，带着哈希表即可
    int ans = process3(stickers2, target, dp);
    return ans == Integer.MAX_VALUE? -1 : ans;
}

public static int process3(int[][] stickers, String target, HashMap<String, Integer> dp) {
    if (dp.containsKey(target)) { // 表中有这个数据，就直接用即可
        return dp.get(target);
    }
    int[] count = new int[26];
    for (char ch : target.toCharArray()) {
        count[ch - 'a']++;
    }
    int min = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = 0; i < stickers.length; i++) {
        // 只递归调用 target字符串出现的第一个字符的情况
        if (stickers[i][target.charAt(0) - 'a'] > 0) { // 剪枝
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int j = 0; j < 26; j++) {
                int nums = count[j] - stickers[i][j]; // target 减去 帖纸的字符个数
                for (int k = 0; k < nums; k++) {
                    sb.append((char)(j + 'a'));
                }
            }
            String rest = sb.toString();
            min = Math.min(min, process3(stickers, rest, dp));
        }
    }
    // 结算min，在返回min时，必须提前将min存储在哈希表中，后续可能会被使用
    min = min == Integer.MAX_VALUE? min : min + 1;
    dp.put(target, min);
    return min;
}

好啦，以上全部就是这道题的思路。重要的是理解了递归调用过程，那么这道题就迎刃而解了。

那我们下期再见吧！！！