零、问题引入

子集和问题 $\text{Subset-sum Problem (SSP)}$ ，其意在求解关于 $\xi(S)=\{\sum_{i\in T}w_i\;|\;T\subseteq S\}$ 的信息。

如果求解的是 $\xi(S)$ 某个值附近的信息，根据背包过程，我们可以总在该值附近浮动。这被称为 $\textit{balancing}$ 。

利用它，我们可以 $\mathcal O(nW)$ 求解某个值的最近邻信息，比如 $\max\{i\;|\;i\in\xi(S),\;i\leqslant C\}$ ，其中 $W=\max\{|w_i|\}$ 。

壹、平衡

Theorem.?可以在 $\mathcal O(n)$ 时间内得到 $C\in[0,W)$ 的问题。

Proof.?若 $C < 0$ 则所有数取反（我们仍求出了 $C$ 的最近邻信息）；不妨设 $C\geqslant 0$ 。在 $w_i>0$ 上，贪心取极大子集 $S$ 满足 $\sum_{i\in S}w_i\leqslant C$ ，将 $S$ 内元素取反、将 $C$ 变为 $C-\sum_{i\in S}w_i$ 。根据流程，若有 $i\notin S$ 满足 $w_i>0$ 则 $C<w_i\leqslant W$ ，否则 $\sum_{i\in S}w_i$ 就是 $C$ 的最近邻。 $\blacksquare$

下文可能将 $x$ 视作解向量。

Definition 1.?平衡填充（ $\textit{balanced filling}$ ） $x$ 是从 $x_j=0\;(j=1,\dots,n)$ 开始，进行若干 平衡调整 得到的，具体而言：

$x_j=0\;(j=1,\dots,n)$ 是平衡填充。
平衡加.?对于平衡填充 $x$ 满足 $w\cdot x\leqslant C$ ，取 $x_t=0\;(w_t\geqslant 0)$ ，令 $x_t=1$ 得到的 $x^{'}$ 是平衡填充。
平衡减.?对于平衡填充 $x$ 满足 $w\cdot x>C$ ，取 $x_s=0\;(w_s<0)$ ，令 $x_s=1$ 得到的 $x^{'}$ 是平衡填充。

Proposition.?对于 $C$ 的（任意一侧）最近邻，存在解 $x$ 是平衡填充。

Proof.?显然。以负方向最近邻为例。从 $x_j=0\;(j=1,\dots,n)$ 开始，不断平衡加，总重超过 $C$ 就平衡减。 $\blacksquare$

Corollary.?平衡填充总满足 $C-W<w\cdot x\leqslant C+W$ 。

贰、平衡算法

设可重集 $\Bbb U=\{w_i\}$ ，记 $A=[-W,0]\cap\Bbb U,\;B=\Bbb U\setminus A$ 。设 $A=\{a_1,\dots,a_{|A|}\},\;B=\{b_1,\dots,b_{|B|}\}$ 。

Definition 2.?对于 $s\in[0,|A|],\;t\in[0,|B|]$ 和 $\mu\in(C-W,\;C+W]$ ，定义
$f_{s,t}(\mu)=\left[\exist S,\;\sum_{i\in S}w_i=\mu\right]\\ \begin{aligned} \text{s.t.}\quad&S\subseteq\{a_1,\dots,a_s\}\cup\{b_1,\dots,b_s\} \\ &S\text{ forms a balanced filling} \end{aligned}$

其中 $\text{balanced filling}$ 是平衡填充。虽然前面是用 “向量” 的口吻定义的，换成集合想必也不会引起误会。

显然只需考虑 $f_{s,t}(\mu)=1$ 的三元组 $(s,t,\mu)$ 。注意到 $t,\mu$ 固定时 $s$ 越小越好。

Definition 3.?对于 $t\in[0,|B|]$ 和 $\mu\in(C-W,\;C+W]$ ，定义
$s_t(\mu)=\min\{s: f_{s,t}(\mu)=1\}$

对其进行 $\tt dp$ 。按照 $t$ 从小到大的顺序，每次考虑是否进行平衡加和平衡减。

定义 $s_t(\mu)=|A|+1$ 若不存在对应的 $s$ 。于是有如下伪代码：
$\begin{array}{r|l} &\textrm{Algorithm }\texttt{balsub}\\\hline 1&\textbf{for }\mu\gets C-W+1\textbf{ to }C+W\textbf{ do }\\ 2&\quad s_{0}(\mu)\gets |A|+1\\ 3&s_0(0)\gets 0\\ 4&\textbf{for }t\gets 1\textbf{ to }|B|\textbf{ do}\\ 5&\quad\textbf{for }\mu\gets C-W+1\textbf{ to }C+W\textbf{ do}\\ 6&\quad\quad s_t(\mu)\gets s_{t-1}(\mu)\\ 7&\quad\textbf{for }\mu\gets C-W+1\textbf{ to }C\textbf{ do }\\ 8&\quad\quad\mu'\gets\mu+b_t\\ 9&\quad\quad s_t(\mu')\gets\min\{s_t(\mu'),\;s_{t-1}(\mu) \}\\ 10&\quad\textbf{for }\mu\gets C+W\textbf{ downto }C+1\textbf{ do}\\ 11&\quad\quad\textbf{for }j\gets s_t(\mu)+1\textbf{ to }s_{t-1}(\mu)\textbf{ do}\\ 12&\quad\quad\quad\mu'\gets\mu+a_j\\ 13&\quad\quad\quad s_t(\mu')\gets\min\{s_t(\mu'),\;j\} \end{array}$

第 $5 - 6$ 行是不进行平衡加。第 $7 - 11$ 行进行平衡加。第 $12 - 13$ 行在 $s_t(\mu)$ 对应的方案上做了平衡减。注意 $11$ 行处 $j = ∣ A ∣ + 1$ 可能出现，此时转移应当被忽略。

最关键处在于第 $11$ 行的上界 $s_{t-1}(\mu)$ 。这是因为 $j>s_{t-1}(\mu)$ 时，与之等效的转移可以在 $s_{t-1}(\mu)$ 上完成。这直接使得第 $11$ 行的循环次数，对于每个 $\mu$ ，是 $\sum_{t}s_{t-1}(\mu)-s_{t}(\mu)=s_0(\mu)-s_{|B|}(\mu)\leqslant |A|$ 。因此总复杂度 $\mathcal O(nW)$ 。

通过该数组，我们可直接求出 $\max\{i:i\leqslant C,\;i\in\xi(\Bbb U)\}=\max\{z:z\leqslant C,\;s_{|B|}(\mu)\ne |A|+1\;\}$ ，或者 $\min\{|i-C|:i\in\xi(\Bbb U)\}=\min\{i:s_{|B|}(C\pm i)\ne|A|+1\}$ 。