前言

本文为7月14日Python数据结构与算法学习笔记，分为两个章节：

树：树的概念、术语、种类、存储与表示；
二叉树：二叉树的基本概念、性质、节点表示及树的创建以及遍历。

一、树

1、树的概念

用来模拟具有树状结构性质的数据集合的抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构。具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点；
没有父节点的节点称为根节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树。

tree

2、树的术语

节点的度： 一个节点含有的子树的个数；
树的度： 一棵树中，最大的节点的度；
叶节点 或 终端节点： 度为零的节点；
父节点： 若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
子节点： 一个节点含有的子树的根节点；
兄弟节点： 具有相同父节点的节点；
层次： 从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度： 树中节点的最大层次；
堂兄弟节点： 父节点在同一层的节点互为堂兄弟；
节点的祖先： 从根到该节点所经分支上的所有节点；
子孙： 以某节点为根的子树中任一节点；
森林： 由m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

3、数的种类

(1)、无序树

树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为自由树。

(2)、有序树

树中任意节点的子节点之间有顺序关系。

二叉树：
1. 完全二叉树： 对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列；
2. 满二叉树： 所有叶节点都在最底层的完全二叉树；
3. 平衡二叉树（AVL树）： 当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；
4. 排序二叉树（Binary Search Tree）：

(3)、霍夫曼树

用于信息编码，带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树。

(4)、B树

一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

4、数的存储与表示

(1)、顺序存储

顺序存储

(2)、链式存储

链式存储

二、二叉树

1、基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。

2、二叉树的性质

在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点（i>0）；
深度为k的二叉树至多有2^(k-1) 个结点（k>0）；
对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
具有n个结点的完全二叉树的深度必为 log₂(n+1)；
对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为 i 的结点，其左孩子编号必为2i，其右孩子编号必为2i＋1；其双亲的编号必为i/2（i＝1 时为根,除外）。

3、二叉树的节点表示以及树的创建

使用Node类中定义三个属性，分别为elem本身的值，还有lchild左孩子和rchild右孩子：

class Node(object):
    ''' 创建节点 '''
    def __init__(self, item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

树的创建,创建一个树的类，并给一个root根节点，一开始为空，随后添加节点；

class Tree(object):
    ''' 二叉树 '''
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self, item):
        ''' 添加节点 '''
        node = Node(item)
        if self.root is None:   # 如果树是空的，则对根节点赋值
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]

        while queue:  # 对已有的节点进行层次遍历
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)

            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:   # 如果左右子树都不为空，加入队列继续判断
                queue.append(cur_node.lchild)
                queue.append(cur_node.rchild)

4、二叉树的遍历

深度优先一般用递归，广度优先一般用队列。一般情况下能用递归实现的算法大部分也能用堆栈来实现。

深度遍历有三种方法：

先序遍历：先访问根节点，然后递归使用先序遍历访问左子树，再递归使用先序遍历访问右子树：

    def preorder(self, node):
        ''' 先序遍历 '''
        if node is None:
            return
        print(node.elem)
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

中序遍历：先访问左子树，然后访问根节点，最后再递归使用中序遍历访问右子树：

    def inorder(self, node):
        ''' 中序遍历 '''
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end = ' ')
        self.inorder(node.rchild)

后续遍历：先访问左子树和右子树，最后访问根节点：

    def postorder(self, node):
        ''' 后序遍历 '''
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem, end = ' ')

遍历结果

广度优先遍历(层次遍历)：从树的root开始，从上到下从从左到右遍历整个树的节点：

    def breadth_travel(self):
        ''' 用队列实现广度遍历 '''
        if self.root is None:
            return

        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem)

            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)

            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)