题目描述
设有?N×N?的方格图(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字?0。如下图所示（见样例）:
A
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 13 0 0 6 0 0
0 0 0 0 7 0 0 0
0 0 0 14 0 0 0 0
0 21 0 0 0 4 0 0
0 0 15 0 0 0 0 0
0 14 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
B
某人从图的左上角的?A?点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的?B?点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字?0）。
此人从?A?点到?B?点共走两次，试找出?2?条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入格式
输入的第一行为一个整数?N（表示 N×N?的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的?0?表示输入结束。
输出格式
只需输出一个整数，表示?2?条路径上取得的最大的和。
输入输出样例
输入 #1??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????输出 #1??????
8?????????????????????????????????????????????????????????67
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
说明/提示
NOIP 2000 提高组第四题
解题思路
此题可以用动规来完成，深搜应该也没问题。本题采用的是动规来解决，首先先要考虑此题的状态转移方程，由于是2条路径，我们会发现此题不能用单纯的二维数组来完成，如果写两个二维数组的话必然会超时，所以优先考虑用四维数组来完成。即可写出状体转移方程
f[i][j][k][m] = max(max(f[i - 1][j][k - 1][m], f[i][j - 1][k][m - 1]),max(f[i - 1][j][k][m - 1], f[i][j - 1][k - 1][m])) + d[i][j]
此状态方程是什么意思呢，路径只能往下或往右走，所以到达某一位置的最优解是由其上方或是左方中最大的值加上此位置的数，由两条路径，所以是四者中的最大值，当然仅加上d[ i ][ j ]是不够的，因为还有d[ k ][ m ]，但这不是随便可以加的，当 i==k 并且 j==m 时，说明两条路径经过的位置重合，因为题目中所说经过后要取走数字，所以此时不能加上d[ k ][ m ]，否则就还得加上d[ k ][ m ]。
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int n, i, j, k, m, x, y, data;
int d[10][10], f[10][10][10][10];
int main() {
cin >> n;
while (cin >> x >> y >> data && !(!x && !y && !data)) //当x=0,y=0,data=0时退出循环
d[x][y] = data;
for (i = 1; i <= n; i++) //遍历
for (j = 1; j <= n; j++)
for (k = 1; k <= n; k++)
for (m = 1; m <= n; m++) {
f[i][j][k][m] = max(max(f[i - 1][j][k - 1][m], f[i][j - 1][k][m - 1]),
max(f[i - 1][j][k][m - 1], f[i][j - 1][k - 1][m])) + d[i][j];
if (i != k && j != m) f[i][j][k][m] += d[k][m];
}
cout << f[n][n][n][n];
}
?当然你以为这就结束了吗？四维还是太慢了，可能此题数据并不是很大，才能AC。其实本题也可以压缩到三维来完成。将两条路径同时开始，所以两条路径所走的步数始终都是相等的，而从A到B则需要2n步，此时我们的状态方程为
f[i][j][k] = d[k][i - k] +max(max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - 1][k - 1]),
max(f[i - 1][j - 1][k], f[i - 1][j][k - 1]));
?此时的 i 表示为走了 i 步，而 j 是路径a向下走了 j 步，k 为路径b向下走了 k 步，那么 i-j 表示的是此时路径a所到达的横坐标，i-k 表示的是此时路径b所到达的横坐标，跟四维时相同，当 j==k 时，说明此时路径走过的地方重合，则不用只需要加上一个值，否则，还需要加上 d[ j ]d[ i-j ]。
优化代码
#include <iostream>
using namespace std;
int n, i, j, k, x, y, data;
int d[10][10];
int f[20][10][10];
int main() {
cin >> n;
while (cin >> x >> y >> data && !(!x && !y && !data)) //当x=0,y=0,data=0时退出循环
d[x][y] = data;
for (i = 1; i <= 2 * n; i++)
{
for (j = 1; j <= i && j <= n; j++) {
for (k = 1; k <= i && k <= n; k++) {
f[i][j][k] = d[i - k][k] +max(max(f[i - 1][j][k], f[i - 1][j - 1][k - 1]),
max(f[i - 1][j - 1][k], f[i - 1][j][k - 1]));
if (j != k)f[i][j][k] += d[i-j][j];
}
}
}
cout << f[2 * n][n][n];
}
by CJL
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