[数据结构与算法] 考研数据结构与算法（七）图论

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[数据结构与算法]考研数据结构与算法（七）图论

一、图的基本概念

1.1 图的定义

图 G 由顶点集 $V$ 边集 $E$ 组成，记为 $G = (V, E)$ ，其中 $V (G)$ 表示图 $G$ 中顶点的有限非空集；
$E (G)$ 表示图 $G$ 中顶点之间的关系（边）集合。若 $V= {V_1 , V_2，…， V_n}$ ，则用 $∣ V ∣$ 叫表示图中顶点的个数，也称图 $G$ 的阶， $E = {(u,v) \ | \ u∈V,v∈V}$ ，用 $∣ E ∣$ 表示图 $G$ 中边的条数。

注意：图的顶点集 $V$ 一定为非空，而图的边集 $E$ 可能为空

1.2 基本术语

1.2.1 有向图

图中的边集是由方向的，例如有一个从点 $A$ 到 $B$ 的有向边，那么我们从 $A$ 点可以到达 $B$ 点，而不能从 $B$ 点到达 $A$ 点，这样就是一个有向边，在这条边中点 $A$ 被称为弧尾，而点 $B$ 被称为弧头，我们通常用这样的符号来记录这条边：<A,B>

1.2.2 无向图

很显然没有方向的边和顶点集构成的图就为无向图，按照上面的情况，在无向图中顶点之间是互相连通的，即若有一个点 $A$ 到点 $B$ 的边，从 $B$ 出发也是能到达 $A$ 点的，我们通常使用这样的符号来记录这条边：(A,B)

1.2.3 简单图

一个图 $G$ 若满足：

①不存在重复边
②不存在顶点到自身的边，则称图 $G$ 为简单图

1.2.4 多重图

若图 $G$ 中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边也和自己关联，则 $G$ 为多重图。多重图的定义和简单图是相对的

1.2.5 完全图

在一个顶点数量为 $n$ 的无向图中，若边的数量为 $\frac{(n-1)\times n}{2}$ ，则该无向图为完全图
在一个顶点数量为 $n$ 的有向图中，若边的数量为 $(n-1)\times n$ ，则该有向图为完全图

1.2.6 子图

设有两个图 $G = (V, E)$ 和 $G^{'} ＝ (V^{'}, E^{'})$ ，若 $V^{'}$ 是 $V$ 的子集，且 $E^{'}$ 是 $E$ 的子集，则称 $G^{'}$ 是 $G$ 的子图，若满足 $V^{'} = V$ 且 $\subset E$ 那么子图 $G^{'}$ 为 $G$ 的生成子图

注意：并非 $V$ 和 $E$ 的任何子集都能构成 $G$ 的子图，因为这样的子集可能不是图，即 $E$ 的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个 $V$ 的子集中

1.2.7 连通、连通分量、连通图

关于连通方面的定义都是基于无向图的

连通：在无向图中若从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 有路径存在，那么称 $u$ 和 $v$ 是连通的
连通图：若无向图中任意两点是连通的，那么这个无向图就称为连通图，否则称为非连通图
连通分量：对于一个连通图而言，其连通分量只有一个就是其本身，而对于非连通图而言，连通分量有多个，其每一个子图（或者称为极大联通子图）都是一个连通分量

很显然一个 $n$ 个点的连通图最少有 $n ? 1$ 条边（即后面提到的生成树），最多有 $\frac{(n-1)\times n}{2}$ 个边

这里再补一下 极小连通子图 的定义：一个顶点为 $n$ 的子图的边数为 $n ? 1$ （其实后面也能知道这其实是生成树的定义），就称其为极小连通子图，很显然这样的子图也是一个极大连通子图，因为它是一个连通分量。

例如，对于下面的这个非连通图，其连通分量有三个：
在这里插入图片描述

1.2.8 强连通

关于强连通方面的定义都是基于有向图的

强连通：在有向图中，若从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 和从顶点 $w$ 到顶点 $v$ 之间都有路径 ，则称这两个顶点为强连通的
强连通图：若有向图中任意两点之间都是强连通的，那么称这个有向图为强连通图，否则称为非强连通图
强连通分量：对于一个强连通图而言，其强连通分量就是本身，而对于一个非强连通图而言，其极大强连通子图就为该非强连通分量（在子图中任意两点仍满足强连通）

例如，对于如下的非强连通图，其中点 $A$ 和 $B$ 构成的子图就为极大联通子图，即强连通分量，而点 $C$ 和 $D$ 构成的子图则不是强连通分量
在这里插入图片描述

1.2.9 生成树、森林

生成树、森林一般是基于无向图的

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图，即一个 $n$ 个点的连通图中有 $n ? 1$ 条边

很显然这样的连通图，如果减去一条边就会形成非连通图，而若是加上一条边，则会形成回路

例如，下图中的连通图就为一个生成树：
在这里插入图片描述

而生成森林其实就是多个连通子图都是极小连通子图（生成树），那么就称这个森林为生成森林，例如下图中左边森林为生成森林，而右边的森林不是连通森林：
在这里插入图片描述

1.2.10 顶点的度

无向图：对于无向图而言，顶点的度就是和该顶点相连接的边数
有向图：对于有向图而言，指向该顶点的边数称为入度，而从该顶点指出的边数称为出度

无向图的全部顶点的度之和等于两倍的边数
有向图的全部顶点的出度等于全部顶点的入度等于边数

1.2.11 边权和网

在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值。这种边上带有权值的图称为带权图，也称网。
网中通常分为， $A O V$ 网和 $A OE$ 网

$A O V$ 网：没有权值，或者权值都相同，主要是在于点与点之间的先后关系
$A OE$ 网：有权值，每一个点称为事件，而边称为活动

1.2.12 稠密、稀疏图

稠密图：点数较大，而边数较少的图称为稀疏图
稠密图：点数较小，而边数较多的图称为稠密图

一般来说当图 $G$ 满足 $E| < |V|log_2|V|$ 的时候，可以将图G定义为稀疏图，反之则为稠密图

1.2.13 路径、路径长度、回路

路径：顶点 $V_u$ 到顶点 $V_v$ 的顶点序列 $V_p,V_{i1},V_{i_2},……,V_u$ 称为这两点的路径
路径长度：路径上边的数目称为路径长度
回路：起点和终点相同的非 $0$ 路径长度的路径称为回路

1.2.14 简单路径、简单回路

简单路径：在路径的顶点序列中顶点不重复的路径称为简单路径
简单回路：除了起点和终点相同外其余顶点不重复的回路称为简单回路

1.2.15 距离

从顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的最短路径若存在，则此路径的长度称为从 $u$ 到 $v$ 的距离。若从 $u$ 到 $ν$ 根本不存在路径，则记该距离为无穷 $(\infty)$

1.2.16 有向树

一个顶点的入度为 $0$ 、其余顶点的入度均为 $1$ 的有向图，称为有向树

二、图的存储结构

2.1 邻接矩阵

通过一个一维矩阵 $V$ 存储顶点信息，然后再通过一个二维矩阵 $A$ 存储边的信息

对于无权图 $A [i] [j]$ 的含义如下：

$\begin{cases} 1 ,若(V_i,V_j)或者 <V_i,V_j>是E(G)中的边 \\ 0 ,若(V_i,V_j)或者 <V_i,V_j>不是E(G)中的边\\ \end{cases}$

对于有权图 $A [i] [j]$ 的含义如下：
$\begin{cases} V[i][j] ,若(V_i,V_j)或者 <V_i,V_j>是E(G)中的边 \\ 0或∞ ,若(V_i,V_j)或者 <V_i,V_j>不是E(G)中的边\\ \end{cases}$
我们可以将这个结构进行封装为如下形式：

#define MaxVertexNum 100
typedef struct {
	int Vex[MaxVertexNum];//存储当前顶点的表
	int Edge[MaxVertexNum][MaxVertexNum];//邻接矩阵表
	int vexnum, arcnum;//当前的顶点数和弧数
}

邻接矩阵存储表示法的特点：

①无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵且唯一，因此我们可以使用三角矩阵压缩存储，就能节省一半的空间
②对于无向图邻接矩阵的第 $i$ 行（列）的非 $0$ 元素的个数就为第 $i$ 个顶点的度
③对于有向图邻接矩阵，第 $i$ 行（列）的非 $0$ 元素的个数就为第 $i$ 个顶点的出度（入度）
④邻接矩阵适合存储稠密图

一些通过邻接矩阵存储的图的示例如下：
在这里插入图片描述

2.2 邻接表

我们对图中每一个顶点建一个单链表，然后链表的元素就为其所连接的点，这样就能节省大量的空间，这样的邻接表中存在两种类型的结点：顶点结点、边表结点
在这里插入图片描述
这个顶点结点就类似我们之前的头节点，下面是无向图和有向图的邻接链表的例子：

无向图：
在这里插入图片描述
有向图：

我们可以简单得到一下这个邻接表的结构：

#define MaxVertexNum 100 
typedef struct ArcNode{ //边表结点
	int adjvex; //该弧指向的顶点的位置
	struct ArcNode *next; //下一条弧的位置
	// infoType info;
}ArcNode; 
typedef struct VNode{ //顶点结点
	VertexType data; //顶点的信息，例如值之类的
	ArcNode *first;//第一个边表结点的位置
}VNode , AdjList[MaxVertexNum]; 
typedef struct{ 
	VNode AdjList[MaxVertexNum]; //顶点结点数组
	int vexnum,arcnum;//顶点数和弧数
} ALGraph;//封装的邻接表的图

邻接表存储方法特点：

①若图 $G$ 为无向图，则邻接表所需的存储空间为 $O (∣ V ∣ + 2∣ E ∣)$ ，若图 $G$ 为有向图，则邻接表所需的存储空间为 $O (∣ V ∣ + ∣ E ∣)$
②邻接表适合稀疏图
③图的邻接表表示不唯一，取决于边的读入顺序

2.3 十字链表

首先来说，十字链表是对于有向图而言的，有一点邻接表和邻接矩阵结合的感觉，首先对于每一个顶点来说有一个顶点结点的概念，然后对于其指向的边结点有一个弧结点的概念

顶点结点有三个域
- data 域存放顶点相关的数据信息，
- firstin 域指向以该顶点为弧头的第一个弧结点（比如这个结点是第二个结点，那么就指向第二列，从上往下看的第一个弧节点元素，当然若是没有的话则指向NULL）
- firstout 域指向以该顶点为弧尾的第一个弧结点（比如这个结点是第三个结点，那么就指向第三行 的第一个弧结点元素）
弧结点有五个域
- tailvex 尾域表示弧尾的位置（显然对于某一行数据来说，弧尾域都是一样的）
- headvex 头域表示弧头的位置（显然对于某一列数据来说，弧头域都是一样的）
- hlink 链域指向弧头相同的下一条弧（其实就是对于每一列的弧结点元素来说，上下相邻的元素从上往下指）
- tlink 链域指向弧尾相同的下一条弧（其实就是对于每一行的弧结点元素来说，左右相邻的元素从左往右指）
- info 域一般用于弧的值的存储

例如如下有向图构建的十字链表：
在这里插入图片描述

注意：上图中的弧结点没有info 域

2.4 邻接多重链表

邻接多重表是无向图的另一种链式存储结构，着重于边与边以及边与点的关系，与十字链表类似，邻接多重表也有顶点结点以及边结点

顶点结点有两个域
- data 域
- firstedge 用于存储与该结点相连的第一条边
边结点有六个域（但是一般只用其中间的四个）
- mark 域用于标记这个边是否进行操作过， $0$ 表示没操作过， $1$ 表示操作过了
- ivex 用于表示该边的其中一个结点在图中的下标
- ilink 用于表示与结点 ivex 相邻的第一条边
- jvex 用于表示该边的另一个结点在图中的下标
- jlink 用于表示与结点 jvex 相邻的第一条边
- info 用于表示该边的一些权值等信息

下面是一些绘制邻接多重表的步骤：

①我们仍然可以先画出该图的邻接表(但不要画箭头)
②因为该图是一个无向图，所以我们需要将重复的边进行删除（统一规划一下可以尽量从往上删除）
③然后从每一个顶点结点出发，指向边结点中与之对应的 $i l ink$ 或者 $j l ink$ 这里的话有两种方式
- 第一种按照 $D FS$ 的方法，不断在边结点中找到下一个边结点的位置，直到完成所有的边，再从下一个顶点结点出发
- 第二种按照 $BFS$ 的方法，首先找到第一个顶点结点的下一个相邻结点，然后再完成下一个顶点结点，然后再不断完成边界点的关系指向
  例如假设我们有如下的图结构：
  
  我们需要绘制邻接表，然后删除重复的边：
  
  然后我们采用BFS的方法先完成顶点结点的指向
  
  然后就是不断根据边结点进行连接了，于是我们就得到了多重邻接表的画法(当然多重邻接表不一定唯一)

三、图的遍历方法

也可参见我的另一篇介绍：https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122310835

3.1 广度优先搜索（BFS）

图的广度优先搜索类似于树的层序遍历，不断地将未访问的结点放入队列，然后出队，再将出队元素所连接的所有未访问点放入队列，这个当队列为空的时候，我们就完成了图的广度优先搜索，简单的搜索如下：

bool vis[N];
void bfs(int s){
	queue<int> que;
	que.push(s);
	vis[s] = true;
	while(!que.empty()){
		int t = que.front();
		que.pop();
		printf("%d\t",t);
		for(int i = 0,l = V[t].size();i < l; ++i) {
			if(!vis[V[t][i]]){
				que.push(V[t][i]);
				vis[V[t][i]] = true;
			}
		}
	}
}

void BFS_Traverse(int n) {
	memset(vis,false,sizeof vis);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		if(!vis[i]) bfs(i);
	}
}

当然另一个 $BFS$ 的例子是求解单源最短路问题，用的是一个以 $1$ 为源点，然后求得是到 $n$ 的最短距离（当然边权都为 $1$ ）

int dis[N];
bool vis[N];
int bfs(){
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
	queue<int> que;
	dis[1] = 0;
	que.push(1);
	vis[1] = true;
	while(!que.empty()){
		int t = que.front();
		que.pop();
		if(t == n)
			return dis[n];
		for(int i = 0,l = V[t].size();i < l; ++i) {
			if(!vis[V[t][i]]){
				que.push(V[t][i]);
				dis[V[t][i]] = dis[t] + 1;
				vis[V[t][i]] = true;
			}
		}
	}
	return -1;
}

ps ：
① 如果是想输出这个最短路径的话，我们可以用一个数组记录每一步的前一个点的位置，然后递归输出一下即可
② 要是想获取层次遍历的结果，只需要在队首元素每次取出的时候输出即可

我们来分析 $BFS$ 的时间和空间复杂度

邻接矩阵存储：时间复杂度为 $O(|V|^2) = O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O (∣ V ∣) = O (n)$
邻接表存储：时间复杂度为 $O (∣ V ∣ + ∣ E ∣) = O (n + e)$ ，空间复杂度为 $O (∣ V ∣) = O (n)$

3.2 深度优先搜索（DFS）

$D FS$ 即优先深度搜索，可能会从一个点开始往一个方向一直往下搜，然后搜到尽头后就回溯，直到当前连通块的所有的结点全都被搜索过，就停止递归搜索，一般来说 $D FS$ 的代码都会十分简洁，但是常数耗时会非常大

bool vis[N];//结点被访问情况
vector<int> Edge[N];//存储的边
void DFS(int s){//当前访问的结点
	if(vis[s]) return;
	vis[s] = true;//标记访问
	//do something
	for(int i = 0,l = Edge[s].size();i < l; ++i) {
		int v = Edge[s][i];
		dfs(v);//递归搜索
	}
}

void DFS_Traverse(int n) {
	memset(vis,false,sizeof vis);
	for(int i = 1;i <= n; ++i) {
		if(!vis[i]) dfs(i);
	}
}

我们可以明显看出 $D FS$ 的代码较为简洁，我们来分析一下 $D FS$ 的时间复杂度

邻接矩阵存储：时间复杂度为 $O(|V|^2) = O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O (∣ V ∣) = O (n)$
邻接表存储：时间复杂度为 $O (∣ V ∣ + ∣ E ∣) = O (n + e)$ ，空间复杂度为 $O (∣ V ∣) = O (n)$

四、图的基本应用

4.1 最小生成树

最小生成树算法在我另一篇博客有较为详细的讲解：
https://acmer.blog.csdn.net/article/details/118560004

4.2 最短路径

最短路径算法在我另一篇博客有较为详细的讲解：（包括Floyd、bellman、SPFA、Dijkstra）

https://acmer.blog.csdn.net/article/details/123040285

4.3 有向无环图描述表达式

有向无环图：字面意思一个不存在环的有向图，简称 $D A G$ 图
对于一个中缀表达式，我们首先是能够将其转化为二叉树的，例如：对于该表达式 $(a + b) (c ? d)$ 的二叉树结构如下：
在这里插入图片描述
再来个复杂点的表达式：
$((a + b) ? (b ? (c + d)) + (c + d) ? e) ? ((c + d) ? e)$

还是先画出这个表达式的二叉树结构
在这里插入图片描述
我们发现对于根结点的右子树 $(c + d) ? e$ 其实可以删掉,，用根节点指向另一个一样的子树结点，于是得到了如下结构：

在这里插入图片描述
然后我们发现子树结构 $(c + d)$ 其实也是重复的，于是我们决定删除一个，就得到了如下结构：

然后我们发现结点 $b$ 其实也是重复的，于是我们删除一个就得到了：

我们发现化二叉树为 $D A G$ 图的时候实际上就是将二叉树重复的子树删掉，并且将分支结点指向其中一个子树即可

4.4 拓扑排序

拓扑排序算法在我另一篇博客有较为详细的讲解：
https://acmer.blog.csdn.net/article/details/126533628

4.5 关键路径

关键路径算法在我另一篇博客有较为详细的讲解：
https://acmer.blog.csdn.net/article/details/126537260

五、错题

选择题

在这里插入图片描述

若 $E^{'}$ 中的边对应的顶点不是 $V^{'}$ 的元素， $V^{'}$ 和 ${E'}$ 无法构成图，故选项 $B$ 错
且若图非连通，则从某一顶点出发无法出问到其他全部顶点，选项 $D$ 的说法不准确

在这里插入图片描述

若无向图中本来就是连通的，那么该图有且只有一个连通分量（极大连通子图）就是其本身（若是其子集构成的新无向图则不是原图的连通分量，而是属于新图的连通分量）
若无向图不是连通的，那么其每一个连通子图都是一个连通分量

在这里插入图片描述

这里符合深度优先遍历的序列数只有第一个以及第四个，其余都不符合

判断有向图中是否存在回路，除可以利用拓扑排序外，还可以利用什么算法？ $(C)$

A. 求关键路径的方法
B. 求最短路径的 Dijkstra 算法
C. 深度优先边历算法
D. 广度优先选历算法
解析：利用深度优先遍历可以判断图 $G$ 中是否存在回路。对于无向图来说，若深度优先遍历过程中遇到了回边，则必定存在环；对于有向图来说，这条回边可能是指向深度优先森林中另一棵生成树上的顶点的弧；但是，从有向图的某个顶点 $v$ 出发进行深度优先遍历时，若在 $D FS (v)$ 结束之前出现一条从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的回边，且 $u$ 在生成树上是 $v$ 的子孙，则有向图必定存在包含顶点 $v$ 和顶点 $u$ 的环

在这里插入图片描述

对一个有向图做深度优先遍历，并未专门判断有向图是否有环（有向回路〉存在，无论图中是否有环，都得到一个顶点序列。若无环，在退出边归过程中输出的应是逆拓扑有序序列。对有向无环图利用深度优先搜索进行拓扑排序的例子如下：
如下图所示，退出 $D FS$ 栈的顺序为 $e f g d c ahb$ ，此图的一个拓扑序列为 $bha c d g f e$ 。该方法的每一步均是先输出当前无后继的结点，即对每个结点 $v$ ，先递归地求出 $v$ 的每个后继的拓扑序列。对于一个 $A O V$ 网，按此方法输出的序列是一个逆拓扑序列。

在这里插入图片描述

若不存在拓扑排序，则表示圈中必定存在回路，该回路构成一个强连通分量

在这里插入图片描述

$Ⅰ$ 中，对于一个存在环路的有向图，使用拓扑排序算法运行后，肯定会出现有环的子图，在此环中无法再找到入度为 $0$ 的结点，拓扑排序也就进行不下去。
$Ⅱ$ 中，注意，若两个结点之间不存在祖先或子孙关系，则它们在拓扑序列中的关系是任意的（即前后关系任意），因此使用栈和队列都可以，因为进栈或队列的都是入度为 $0$ 的结点，此时入度为 $0$ 的所有结点是没有关系的。
$Ⅲ$ 中，若拓扑有序序列唯一，则很自然地让人联系到一个线性的有向图**（错误）**，下图的拓扑序列也是唯一的，但度却不满足条件

在这里插入图片描述

总共有五种：

ABCDEFG
ABCDFEG
ABDCEEG
ABDCFEG
ABCFDEG

在这里插入图片描述

$Ⅰ$ ：有向图中的度为入度加出度，而矩阵中第 $V$ 行只能代表点 $V$ 的出度数
$Ⅱ$ ：无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，有向图的邻接矩阵也有可能是对称矩阵
$Ⅲ$ ：最小生成树中的 $n ? 1$ 条边并不能保证是图中权值最小的 $n ? 1$ 条边，因为权值最小的 $n ? 1$ 条边并不一定能使图连通，所以会存在某条边权值超过未选的边
$Ⅳ$ ：有向无环图的拓扑序列唯一并不能唯一确定该图。在下图所示的两个有向无环图中，拓扑序列都为 $V_1, V_2, V_3,V_4$