一、分治法介绍
分治法：
即分而治之，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
eg：快速排序
动态规划：（参考：https://blog.csdn.net/qq_36935691/article/details/113888868）
通常用于求解最优解问题，与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是，适合用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。
若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题会被重复计算多次。
而动态规划的做法是将已解决子问题的答案保存下来，在需要子问题答案的时候便可直接获得，而不需要重复计算，这样就可以避免大量的重复计算，提高效率。（记忆化搜索（MEMO）、递归化递推）
算法范式（算法设计的设计模式）：
二、例题介绍：
Question1：寻找多数
思路：
根据多数元素的定义可知多数元素必定在数组中出现次数最多，而若将原数组分成2部分，则在其中一部分出现次数最多的必定是多数元素，证明如下：
（参考：https://blog.csdn.net/liudehuatw/article/details/116832113）
假定数组长度为n，多数元素为a，出现次数为f(a)，已知：fn(a) > n/2 将数组分成两部分，长度分别为l，r，其中l+r = n
若假设fl(a) <= l/2， fr(a) <= r/2 则fn(a) <= n/2，与已知条件相矛盾，故假设不成立
故将原数组分成2部分，则在其中一部分出现次数最多的必定是多数元素
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int countNumber(int nums[], int num, int left, int right){
int count = 0;
for(int i=left; i<=right; i++){
if(nums[i]==num) count++;
}
return count;
}
int majorityElement(int nums[], int left, int right){
// 数组只有一个数，则这个数是该数组的众数
if(left==right) return nums[left];
int mid = (right-left)/2 + left;
// 获取左半数组的众数
int left_majority = majorityElement(nums, left, mid);
// 获取右半数组的众数
int right_majority = majorityElement(nums, mid+1, right);
// 若左右两边众数相同，则该数是该数组的众数
if(left_majority==right_majority) return left_majority;
else{
int left_count = countNumber(nums, left_majority, left, mid);
int right_count = countNumber(nums, right_majority, mid+1, right);
return left_count > right_count ? left_majority : right_majority;
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<int> nums;
int num;
while (cin>>num) {
nums.push_back(num);
if (cin.get() == '\n') break;
}
int arr[nums.size()];
for(int i=0;i<nums.size();i++){
arr[i] = nums[i];
}
cout<<majorityElement(arr, 0, nums.size()-1);
return 0;
}
方法二：sort排序+输出
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin>>n;
vector<int> nums;
int num;
while (cin>>num) {
nums.push_back(num);
if (cin.get() == '\n') break;
}
sort(nums.begin(), nums.end());
cout<<nums[n/2]<<endl;
return 0;
}
Question2：找到 k 个最小数
思路：（参考：https://blog.csdn.net/qq_15026111/article/details/105356456）
使用sort函数对整个数组进行排序，然后取前k个最小的数字。目前最高效的排序算法是快速排序，其采用了分治法的思想。这里打算手撕快速排序，而不用algorithm头文件中的sort()函数，借以巩固分治法的基础。
优化点：
题目要求取前 K 个数字，所以快排流程不需要完全执行完，只要判断枢纽元素的位置与 K 的关系即可。
一次快速排序的划分：
int partition(int arr[], int low, int high){ int i = low; int j = high+1; int pivot = arr[low]; //设置数组第一位为临时枢纽 while(true){ while(arr[++i]<pivot){ if(i==high) break; } while(arr[--j]>pivot){ if(j==low) break; } if(i>=j) break; swap(arr, i, j); } swap(arr, low, j); return j; }
一次划分后 得到的数组大小与 k 的关系：k与m
if(k==m){ //快排划分一次后，正好找到最小的k个数
return;
}
else if(k<m){ //快排划分一次后，最小的k个数都在前m个数当中，继续递归划分
partitionArray(arr, low, m-1, k);
}
else{ //快排划分一次后，还有k-m个数在右侧数组当中，继续递归划分
partitionArray(arr, m+1, high, k);
}
partitionArray(arr, m+1, high, k);
细节：
当 m < k 时，我们需要进行第二种类型的划分，即在剩余数组中寻找剩余的 k-m 个最小数，那么你是否有疑问，既然已经找到了 m个最小数，还差 k-m 个，那么是不是最后一个参数也要传 k-m？
其实这里的 k 的含义并不是剩余需要寻找的数字的个数，而是一个相对于整个数组而言，所需的前 K小的数字的个数，无论你要在数组的哪个范围内进行划分，这个标准不能变。
还有一种解释方法是，因为首指针没有从 0 开始计算，而是 m+1 ，如果首指针从 0 开始计算的话，那么最后一个参数可以为 k-m，但是这样不方便进行递归操作。
完整代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
void swap(int arr[], int i, int j){
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}
// partition 函数和快速排序中相同，具体可参考快速排序相关的资料
// 代码参考 Sedgewick 的《算法4》
int partition(int arr[], int low, int high){
int i = low;
int j = high+1;
int pivot = arr[low]; //设置数组第一位为临时枢纽
while(true){
while(arr[++i]<pivot){
if(i==high) break;
}
while(arr[--j]>pivot){
if(j==low) break;
}
if(i>=j) break;
swap(arr, i, j);
}
swap(arr, low, j);
return j;
}
void partitionArray(int arr[], int low, int high, int k){
int m = partition(arr, low, high);
if(k==m){ //快排划分一次后，正好找到最小的k个数
return;
}
else if(k<m){ //快排划分一次后，最小的k个数都在前m个数当中，继续递归划分
partitionArray(arr, low, m-1, k);
}
else{ //快排划分一次后，还有k-m个数在右侧数组当中，继续递归划分
partitionArray(arr, m+1, high, k);
}
}
void printArr(int arr[], int k){
sort(arr, arr+k);
for(int i=0; i<k; i++)
{
cout<<arr[i]<<" ";
}
}
int main(){
int len, k;
cin>>len>>k;
int num;
int nums[len];
for(int i=0; i<len; i++){
cin>>nums[i];
}
if(k==0) {
cout<<"0";
return 0;
}else if (len <= k) {
// 打印数组
printArr(nums, k);
return 0;
}
// 开始划分数组
partitionArray(nums, 0, len-1, k);
int res[k] = {0};
for(int i=0; i<k; i++){
res[i] = nums[i];
}
printArr(nums, k);
return 0;
}
方法二：sort排序+输出
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main(){
int len, k;
cin>>len>>k;
int num;
vector<int> nums;
while(cin>>num){
nums.push_back(num);
if(cin.get()=='\n') break;
}
sort(nums.begin(),nums.end());
for(int i=0; i<k-1; i++){
cout<<nums[i]<<" ";
}
cout<<nums[k-1];
return 0;
}
附：
快速排序算法
void Quick_Sort(int *arr, int begin, int end){
if(begin > end)
return;
int tmp = arr[begin];
int i = begin;
int j = end;
while(i != j){
while(arr[j] >= tmp && j > i)
j--;
while(arr[i] <= tmp && j > i)
i++;
if(j > i){
int t = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = t;
}
}
arr[begin] = arr[i];
arr[i] = tmp;
Quick_Sort(arr, begin, i-1);
Quick_Sort(arr, i+1, end);
}
//原文链接：https://blog.csdn.net/qq_40941722/article/details/94396010