[数据结构与算法]LeetCode·96.不同的二叉搜索树·动态规划

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题目

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示例

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思路

解题思路

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i] ：1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i的不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。

以下分析如果想不清楚，就来回想一下dp[i]的定义

• 确定递推公式

在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]

j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

• dp数组如何初始化

初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。

那么dp[0]应该是多少呢？

从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。

从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

• 确定遍历顺序

首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
? ? for (int j = 1; j <= i; j++) {
? ? ? ? dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
? ? }
}

• 举例推导dp数组?

代码

int numTrees(int n){
    int dp[n+1];
    dp[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = 0;
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
        }
    }
    return dp[n];
}

作者：xun-ge-v
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