123. 买卖股票的最佳时机 III

题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

在这里插入图片描述

解题思路

思路一：动态规划

动态规划

1. 确定dp数组以及下标的含义
最多交易两次，那就定义三个状态：
- 0次交易；
- 最多1次交易
- 最多2次交易

dp[i][j] 中 j 表示第 j 天，i 为 [0 - 2] 三个状态， dp[i][j] 表示第 j 天状态 i 所得最大现金

2. 确定递推公式
当j = 3，i = 2时, dp[2][3]取值除了继承前一天状态外dp[2][2]，还有三种情况：

dp[1][0] + prices[3] - prices[0];
dp[1][1] + prices[3] - prices[1];
dp[1][2] + prices[3] - prices[2];

当j = 4，i = 2时, dp[2][4]取值除了继承前一天状态外dp[2][3]，还有三种情况：

dp[1][0] + prices[4] - prices[0];
dp[1][1] + prices[4] - prices[1];
dp[1][2] + prices[4] - prices[2];
dp[1][3] + prices[4] - prices[2];

我们可以发现dp[2][3]和dp[2][4]有一块内容是重复计算的：

dp[1][0] - prices[0];
dp[1][1] - prices[1];
dp[1][2] - prices[2];

我们可以设置一个变量maxProfit作为最大利润，那么最大利润公式就是

maxProfit = Math.max(maxProfit, dp[i - 1][j] - prices[j]);

因为常数部分（即prices[3]、prices[4]）都是相同的，所以对maxProfit结果无影响；
对于dp[i][j]推导公式为：

dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], maxProfit + prices[j]);

注意：maxProfit 需要加上 prices[j]

3. dp数组如何初始化
对于0次交易，dp[0][j]肯定都为0；
对于第一天，dp[i][0]肯定都为0；

初始化代码为：

for (let i = 0; i < prices.length; i++) {
    dp[0][i] = 0;
}
for (let i = 0; i < 3; i++) {
    dp[i][0] = 0;
}

4. 确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为 dp[i]dp[i]，依靠 dp[i - 1]dp[i?1] 的数值
5. 返回值.
返回dp数组最后一个值

最后实现代码如下：

/**
 * @param {number[]} prices
 * @return {number}
 */
var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length,
        dp = Array.from(Array(3), () => Array(len));

    for (let i = 0; i < len; i++) {
        dp[0][i] = 0;
    }
    for (let i = 0; i < 3; i++) {
        dp[i][0] = 0;
    }
    for (let i = 1; i < 3; i++) {
        let maxProfit = -prices[0];
        for (let j = 1; j < len; j++) {
            dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], maxProfit + prices[j]);
            maxProfit = Math.max(maxProfit, dp[i - 1][j] - prices[j]);    
        }
    }
    return dp[2][len - 1];
};