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一、常见的搜索结构
以上结构适合用于数据量相对不是很大，能够一次性存放在内存中，进行数据查找的场景。如果
数据量很大，比如有100G数据，无法一次放进内存中，那就只能放在磁盘上了，如果放在磁盘
上，有需要搜索某些数据，那么如果处理呢？那么我们可以考虑将存放关键字及其映射的数据的
地址放到一个内存中的搜索树的节点中，那么要访问数据时，先取这个地址去磁盘访问数据。
使用平衡二叉树搜索树的缺陷：
平衡二叉树搜索树的高度是logN，这个查找次数在内存中是很快的。但是当数据都在磁盘中时，
访问磁盘速度很慢，在数据量很大时，logN次的磁盘访问，是一个难以接受的结果。
使用哈希表的缺陷：
哈希表的效率很高是O(1)，但是一些极端场景下某个位置冲突很多，导致访问次数剧增，也是难
以接受的。
那如何加速对数据的访问呢？
- 提高IO的速度(SSD相比传统机械硬盘快了不少，但是还是没有得到本质性的提升)
- 降低树的高度—多叉树平衡树
二、B树概念
1970年，R.Bayer和E.mccreight提出了一种适合外查找的树，它是一种平衡的多叉树，称为B树
(后面有一个B的改进版本B+树，然后有些地方的B树写的的是B-树，注意不要误读成"B减树")。一棵m阶(m>2)的B树，是一棵平衡的M路平衡搜索树，可以是空树或者满足一下性质：
- 根节点至少有两个孩子
- 每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m ceil是向上取整函数
- 每个叶子节点都包含k-1个关键字，其中 ceil(m/2) ≤ k ≤ m
- 所有的叶子节点都在同一层
- 每个节点中的关键字从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域划
分 - **每个结点的结构为：（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）**其中，Ki(1≤i≤n)为关键字，且Ki<Ki+1(1≤i≤n-1)。Ai(0≤i≤n)为指向子树根结点的指针。且Ai所指子树所有结点中的
关键字均小于Ki+1。n为结点中关键字的个数，满足ceil(m/2)-1≤n≤m-1。
三、B-树的插入分析
为了简单起见，假设M = 3. 即三叉树，每个节点中存储两个数据，两个数据可以将区间分割成三
个部分，因此节点应该有三个孩子，为了后续实现简单期间，节点的结构如下：
注意：孩子永远比数据多一个。
用序列{53, 139, 75, 49, 145, 36, 101}构建B树的过程如下：
插入过程总结：
- 如果树为空，直接插入新节点中，该节点为树的根节点
- 树非空，找待插入元素在树中的插入位置(注意：找到的插入节点位置一定在叶子节点中)
- 检测是否找到插入位置(假设树中的key唯一，即该元素已经存在时则不插入)
- 按照插入排序的思想将该元素插入到找到的节点中
- 检测该节点是否满足B-树的性质：即该节点中的元素个数是否等于M，如果小于则满足
- 如果插入后节点不满足B树的性质，需要对该节点进行分裂：
申请新节点
找到该节点的中间位置
将该节点中间位置右侧的元素以及其孩子搬移到新节点中
将中间位置元素以及新节点往该节点的双亲节点中插入，即继续4 - 如果向上已经分裂到根节点的位置，插入结束
四、B-树的插入实现
#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;
namespace ns_bTree
{
template<class K, size_t M>
struct BTreeNode
{
//K _keys[M - 1];
//BTreeNode<K, M>* _subs[M];
// 为了方便插入以后再分裂，多给一个空间
K _keys[M];
BTreeNode<K, M>* _subs[M + 1];
size_t _n;
BTreeNode<K, M>* _parent;
BTreeNode()
{
for (int i = 0; i < M; ++i)
{
_keys[i] = K();
_subs[i] = nullptr;
}
_n = 0;
_subs[M] = nullptr;
_parent = nullptr;
}
~BTreeNode()
{}
};
template<class K, size_t M>
class BTree
{
typedef BTreeNode<K, M> Node;
private:
Node* _root;
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
int i;
for (i = 0; i < root->_n; ++i)
{
_InOrder(root->_subs[i]);
cout << root->_keys[i] << " ";
}
_InOrder(root->_subs[i]);
}
public:
BTree():_root(nullptr)
{}
~BTree()
{}
pair<Node*, int> Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
// 在每一个结点中查找
int i = 0;
while (i < cur->_n)
{
if (key < cur->_keys[i])
{
break;
}
else if (key > cur->_keys[i])
{
++i;
}
else
{
return make_pair(cur, i);
}
}
parent = cur;
cur = cur->_subs[i];
}
// 没有找到
return make_pair(parent, -1);
}
void InsertKey(Node* parent, const K& key, Node* child)
{
int end = parent->_n - 1;
while (end >= 0)
{
if (key < parent->_keys[end])
{
parent->_keys[end + 1] = parent->_keys[end];
parent->_subs[end + 2] = parent->_subs[end + 1];
--end;
}
else
{
break;
}
}
parent->_keys[end + 1] = key;
parent->_subs[end + 2] = child;
if (child)
{
child->_parent = parent;
}
parent->_n++;
}
bool Insert(const K& key)
{
// 根为空插入
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node;
_root->_keys[0] = key;
_root->_n++;
return true;
}
else
{
auto ret = Find(key);
// 这个值以前被插入过,直接返回
if (ret.second >= 0)
{
return false;
}
// 这个值没有被插入过
else
{
Node* parent = ret.first;
K newKey = key;
Node* child = nullptr;
while (1)
{
InsertKey(parent, newKey, child);
// 满了就要分裂，没有满就结束
if (parent->_n < M)
{
return true;
}
else
{
int mid = M / 2;
Node* brother = new Node;
int j = 0;
int i = mid + 1;
//将mid + 1到M的关键字和孩子拷贝给兄弟
for (; i < M; ++i)
{
brother->_keys[j] = parent->_keys[i];
brother->_subs[j] = parent->_subs[i];
if (parent->_subs[i])
{
parent->_subs[i]->_parent = brother;
}
++j;
parent->_keys[i] = K();
parent->_subs[i] = nullptr;
}
// 拷贝最后一个右孩子
brother->_subs[j] = parent->_subs[i];
if (parent->_subs[i])
{
parent->_subs[i]->_parent = brother;
}
parent->_subs[i] = nullptr;
brother->_n = j;
// 加一是mid也要被分裂
parent->_n -= (brother->_n + 1);
K midKey = parent->_keys[mid];
parent->_keys[mid] = K();
// 刚刚是分裂的根节点
if (parent->_parent == nullptr)
{
_root = new Node;
_root->_keys[0] = midKey;
_root->_subs[0] = parent;
_root->_subs[1] = brother;
_root->_n = 1;
parent->_parent = _root;
brother->_parent = _root;
break;
}
// 已经存在根,就继续上面的操作
else
{
newKey = midKey;
parent = parent->_parent;
child = brother;
}
}
}
return true;
}
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
};
}
五、B+树和B*树
5.1 B+树
B+树是B树的变形，是在B树基础上优化的多路平衡搜索树，B+树的规则跟B树基本类似，但是又在B树的基础上做了以下几点改进优化
- 分支节点的子树指针与关键字个数相同
- 分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1])区间之间
- 所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起
- 所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现
B+树的特性：
5. 所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。
6. 不可能在分支节点中命中。
7. 分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层
5.2 B*树
B*树是B+树的变形，在B+树的非根和非叶子节点再增加指向兄弟节点的指针。
B+树的分裂：
当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针
B*树的分裂：
当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
5.3 总结
通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：
- B树：有序数组+平衡多叉树；
- B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
- B*树：一棵更丰满的，空间利用率更高的B+树。
六、B-树的应用
6.1 索引
B-树最常见的应用就是用来做索引。索引通俗的说就是为了方便用户快速找到所寻之物，比如：书籍目录可以让读者快速找到相关信息，hao123网页导航网站，为了让用户能够快速的找到有价值的分类网站，本质上就是互联网页面中的索引结构。
MySQL官方对索引的定义为：索引(index)是帮助MySQL高效获取数据的数据结构，简单来说： 索引就是数据结构。
当数据量很大时，为了能够方便管理数据，提高数据查询的效率，一般都会选择将数据保存到数据库，因此数据库不仅仅是帮助用户管理数据，而且数据库系统还维护着满足特定查找算法的数据结构，这些数据结构以某种方式引用数据，这样就可以在这些数据结构上实现高级查找算法，该数据结构就是索引。
6.2 MySQL索引简介
mysql是目前非常流行的开源关系型数据库，不仅是免费的，可靠性高，速度也比较快，而且拥有灵活的插件式存储引擎，如下：
MySQL中索引属于存储引擎级别的概念，不同存储引擎对索引的实现方式是不同的。
注意：索引是基于表的，而不是基于数据库的。
6.2.1 MyISAM
MyISAM引擎是MySQL5.5.8版本之前默认的存储引擎，不支持事物，支持全文检索，使用B+Tree作为索引结构，叶节点的data域存放的是数据记录的地址，其结构如下
上图是以以Col1为主键，MyISAM的示意图，可以看出MyISAM的索引文件仅仅保存数据记录的地址。在MyISAM中，主索引和辅助索引（Secondary key）在结构上没有任何区别，只是主索引要求key是唯一的，而辅助索引的key可以重复。如果想在Col2上建立一个辅助索引，则此索引的结构如下图所示：
同样也是一棵B+Tree，data域保存数据记录的地址。因此，MyISAM中索引检索的算法为首先按照B+Tree搜索算法搜索索引，如果指定的Key存在，则取出其data域的值，然后以data域的值为地址，读取相应数据记录。MyISAM的索引方式也叫做“非聚集索引”的。
6.2.2 InnoDB
InnoDB存储引擎支持事务，其设计目标主要面向在线事务处理的应用，从MySQL数据库5.5.8版本开始，InnoDB存储引擎是默认的存储引擎。InnoDB支持B+树索引、全文索引、哈希索引。但InnoDB使用B+Tree作为索引结构时，具体实现方式却与MyISAM截然不同。
第一个区别是InnoDB的数据文件本身就是索引文件。MyISAM索引文件和数据文件是分离的，索引文件仅保存数据记录的地址。而InnoDB索引，表数据文件本身就是按B+Tree组织的一个索引结构，这棵树的叶节点data域保存了完整的数据记录。这个索引的key是数据表的主键，因此InnoDB表数据文件本身就是主索引。
上图是InnoDB主索引（同时也是数据文件）的示意图，可以看到叶节点包含了完整的数据记录，这种索引叫做聚集索引。因为InnoDB的数据文件本身要按主键聚集，所以InnoDB要求表必须有主键**（MyISAM可以没有）**，如果没有显式指定，则MySQL系统会自动选择一个可以唯一标识数据记录的列作为主键，如果不存在这种列，则MySQL自动为InnoDB表生成一个隐含字段作为主键，这个字段长度为6个字节，类型为长整型
第二个区别是InnoDB的辅助索引data域存储相应记录主键的值而不是地址,所有辅助索引都引用主键作为data域
聚集索引这种实现方式使得按主键的搜索十分高效，但是辅助索引搜索需要检索两遍索引：首先检索辅助索引获得主键，然后用主键到主索引中检索获得记录