1.题目

爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶
2 阶
示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。

1 阶 + 1 阶 + 1 阶
1 阶 + 2 阶
2 阶 + 1 阶

作者：力扣 (LeetCode)
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来源：力扣（LeetCode）
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2.分析

2.1转移方程：

爬台阶的最后一步有两种可能：①爬一级台阶②爬两级台阶。
如果最后一步是爬一级台阶，那爬到第x级台阶的方案数就是f(x-1).如果最后一步是爬两级台阶，那爬到第x级台阶的方案数就是f（x-2）。

所以爬完最后一步所有可能的结果就是：爬到x-1级台阶的方案数加上爬到x-2级台阶的方案数。
f(x) = f(x-1)+f(x-2)

2.2 边界条件：

从第0级开始爬，所以从第 0 级爬到第 0 级我们可以看作只有一种方案，即 f(0) = 1；
从第 0 级到第 1 级也只有一种方案，即爬一级，f(1) = 1。

这两个作为边界条件就可以继续向后推导出第 n 级的正确结果。我们不妨写几项来验证一下，根据转移方程得到 f(2) = 2，f(3) = 3，f(4) = 5，……

3.题解

3.1 动态规划

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=2){
            return n;
        }
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i = 3;i<=n;i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];

    }
}

3.2 矩阵快速幂

先把动态规划练会稍后补

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }
}