[数据结构与算法]力扣刷题day21|77组合

77. 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

示例1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

示例2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

思路

那么我把组合问题抽象为如下树形结构：

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

回溯法三部曲

1. 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> path = new ArrayList<>();

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,…,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex：在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> path = new ArrayList<>();
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

2. 回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在path存的就是根节点到叶子节点的路径。

path每找到一个组合就放进res

3. 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

// 单层
for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.add(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

完整代码：

List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
List<Integer> path = new ArrayList<>();
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
    // 找到最后一个元素就中止
    if (path.size() == k) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }

    // 单层
    for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
        path.add(i); // 处理节点
        backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
        path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销处理的节点
    }
}
public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
}

剪枝优化

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

即每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

接下来看一下优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();
2. 还需要的元素个数为: k - path.size();
3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

**为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。**记住我们开始的下标是1，所以要满足剩下的集合的大小足够满足要组成集合的大小， n - i + 1 >= k - path.size

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

优化后的完整代码：

public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    backtracking(n, k, 1);
    return res;
}

// 剪枝优化
void backtracking1(int n, int k, int startIndex) {
    // 找到最后一个元素就中止
    if (path.size() == k) {
        res.add(new ArrayList<>(path));
        return;
    }

    // 单层
    for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
        path.add(i); // 处理节点
        backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
        path.remove(path.size() - 1); // 回溯，撤销处理的节点
    }
}