[数据结构与算法]【算法】Gas Station（LeetCode134）

1. 概述

https://leetcode.com/problems/gas-station/

在一条环路上有 n 个加油站，其中第 i 个加油站有汽油 gas[i] 升。

你有一辆油箱容量无限的的汽车，从第 i 个加油站开往第 i+1 个加油站需要消耗汽油 cost[i] 升。你从其中的一个加油站出发，开始时油箱为空。

给定两个整数数组 gas 和 cost ，如果你可以绕环路行驶一周，则返回出发时加油站的编号，否则返回 -1 。如果存在解，则保证它是唯一的。

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2. 思路与代码

思路
从第一个站开始，记录下达到第 i 个站后还剩下的油，如果 > 0，则说明能够到达第 i 个站，如果 < 0，则说明不能到达第 i 个站，需要从下一个 i + 1 站开始再尝试。

最后需要判断，如果 ${\sum }_{i=0}^{n?1}(gas[i]?cost[i])>=0$ ，则说明能够从 start 站出发，绕一圈回到 start 站。

代码

class Solution {
    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        int start = 0, total = 0, cur = 0;
        for (int i = 0; i < gas.length; i++) {
            cur += gas[i] - cost[i];
            total += gas[i] - cost[i];
            if (cur < 0) {
                start = i + 1;
                cur = 0;
            }
        }
        return total < 0? -1 : start;
    }
}

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3. 证明

cur < 0时意味着无法从第 i 站到达第 i + 1 站，需要从 i + 1 站开始重新尝试，这很好理解，但是为什么 ${\sum }_{i=0}^{n?1}(gas[i]?cost[i])>=0$ 就一定能从 start 站开始绕一圈再回到 start 站呢？

反证法证明
假设存在某一个站 j 使得从 start 到站 j 是可行的，但是从第站到第 j + 1 站是不可行的，其中
$j\in [(start+n)\%n,(start?1+n)\%n]$，那么就有如下两个条件：

1. ${\sum }_{i=0}^{n?1}(gas[i]?cost[i])>=0$
2. $(gas[start]?cost[start])+(gas[start+1]?cost[start+1])+...+(gas[j]?cost[j])<0$

那么就可以得出条件3

$(gas[j+1]?cost[j+1])+(gas[j+2]?cost[j+2])+...+(gas[start]?cost[start])>0$

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如果

j = start - 1

因为是从 start 站出发的，说明不能从 start - 1 站到达 start 站，而与条件3是相矛盾的，因此 j 不能等于 start - 1。

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j = start - 2

已知不能从 start - 1 站到达 start 站，因此有

$gas[start]?cost[start]<0$

并且有条件3：

$(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$

那么就有

$(gas[start?1]?cost[start?1])>0$

也就是说，能够从 start - 2 站开始到达 start - 1 站，而且 $(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$，那么从 start - 2 站开始到达了 start - 1 站，可以继续从 start - 1 站到达 start 站，因为剩下的油是够的。

产生了矛盾，因此 j 不能等于 start - 2。

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j = start - 3

已知不能从 start - 1 站到达 start 站，因此有

$gas[start]?cost[start]<0$

并且有条件3：

$(gas[start?2]?cost[start?2])+(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$

如果 $gas[start?2]?cost[start?2]<0$，那么就有 $(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$

而根据上面的证明，$(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$ 是会产生矛盾的，因此必然有 $gas[start?2]?cost[start?2]>=0$

也即，从 start - 3 站开始能够到达 start - 2 站。

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因为 $gas[start]?cost[start]<0$，所以必然有

$(gas[start?2]?cost[start?2])+(gas[start?1]?cost[start?1])>0$

那么，根据上面的证明，能从 start - 3 站开始到达 start - 2 站，并且在到达了 start - 2 站后有 $(gas[start?2]?cost[start?2])+(gas[start?1]?cost[start?1])>0$，也就是油足够从 start - 2 站继续到达 start - 1站。

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在到达了 start - 1 站后，因为 $(gas[start?2]?cost[start?2])+(gas[start?1]?cost[start?1])+(gas[start]?cost[start])>0$ ，那么剩下的油可以继续从 start - 1 站到达 start 站。

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因此就出现了矛盾，因此 j 不能等于 start - 3

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同理可证

同理，可以证明 j 不能取其他的值，也即 j 是不存在的，那么即说明，只要 ${\sum }_{i=0}^{n?1}(gas[i]?cost[i])>=0$ ，就可以从 start 站绕一圈回到 start 站。