0-1背包问题

所谓0-1背包问题，也就是给你一个重量为M的背包和n种物品，每种物品有一定的重量和价值，在每种物品均可装入背包1次或不装入（不能仅装入物品的一部分）且不超过背包载重量的前提下，问你怎样选择物品，使得装入背包的物品的总价值最大？

网上关于0-1背包问题的解决办法非常多，但是上来就给公式，我觉得对于初学者来说非常不好理解，目前我觉得最好的方式就是图表法来快速理解这个问题，当然大家如果有更好的方法欢迎在评论区分享。

分析

我们先从一个例子入手：
假如现在有一个背包能够承重5kg，有四个物品重量和价值如下：

物品	重量/kg	价值
物品①	3	10
物品②	2	40
物品③	4	30
物品④	1	50

思路：对于每个物品，我们计算背包当前状态是否可以存放，如果能存放，则比较放入该物品的总价值和未放之前的总价值，如果该物品放入后比之前的总价值更大，则放入该物品，反之则不放。这样，当前状态所得到的总价值就是最大的。后面每放一个物品，我们都在前面计算的总价值最大的基础上再进行上述重复操作。

如图，横轴为背包重量，我们让背包重量从0开始，慢慢增长到5，分析每一个重量下可放入物品的最大价值；纵轴为我们的物品编号，我们总共有四个物品。当背包重量为0时，没有物品能够放入，背包的价值也就为0，所以表格第一列是0；当物品为0时，即没有东西放入背包，此时背包的价值也都是0，所以表格第一行都是0.（把0考虑进来的目的是方便计算和分析）
在这里插入图片描述
然后我们先判断物品①放入背包中的情况，由上述可知物品①重量为3，价值为10，当背包重承重为1或者2时物品①无法放入，所以最大价值是0，当背包承重为3、4、5时，物品①可以放入，所以背包最大价值是10，表格数据情况如下：
在这里插入图片描述
接着我们再判断放入第二个物品的情况，物品②重量为2，价值为40：

当背包承重为1时，物品②无法放入，背包总价值为0
当背包承重为2时，刚好可以放入物品②，此时背包最大价值为40
当背包承重为3时，不放物品②的最大价值由上述计算得出是10（即放入物品①），放入物品②的最大价值是40，我们选择放入物品②
背包承重为4时跟承重为3的情况一模一样，背包的最大价值还是40
当背包承重为5时，这个时候物品①和物品②可以同时放入，所以背包的最大价值为10+40=50

第三个物品重量为4，价值为30，所以
当背包承重为1,2，3时，物品③都无法放入，根据上述计算可知，背包承重为1时，没有物品能放入，最大价值是0，当背包承重为2或者3时，背包的最大价值为40（即上述放入物品②）
当背包承重为4时，有两种情况，一种是放入物品③，此时背包价值为30，第二种情况就是不放入物品③，不放入物品③且当背包重量为4的时候我们计算出背包的最大价值为40，所以我们选择不放入。
当背包重量为5时，同理，两种情况，放入物品③价值为30，不放物品③且背包重量为5的最大价值是50（上述计算得出），所以背包的最大价值还是50.

第四个物品重量为1，价值为50，所以
当背包承重为1时，我们放入物品④价值最大，最大价值为50
当背包承重为2时，我们有两个选择，,一是放入物品④最大价值为50，二是不放入物品④，此时最大价值是40（由上述计算可得是放入物品②）
当背包承重为3时，不放入物品④的最大价值是40，放入物品④的最大价值是90（因为此时物品④和物品②可以同时放入）
当背包承重为4、5时，最大价值还是90

到这里，我们就通过画图表进行分析的方式得到了我们背包可放置物品的最大总价值！

由上面的分析过程和表格，不知道各位小伙伴们有没有看出上面规律，其实上面的表格我们完全可以把它看成一个二维数组，这个二维数组里面记录了背包承重的不同情况下放入不同物品所得的最大价值。

假如，我们把这个二维数组定义为dp[ i ][ j ]，当背包重为0时，没有物品能够放得下，所以背包价值为0即dp[ i ][ 0]={0}，当没有物品放进背包时，背包的价值也是0，也即dp[ 0 ][ j ]={0}，当我们有物品需要放入时，根据上述我们可以得到如下公式来推导出最大价值：
在这里插入图片描述