1049. 最后一块石头的重量 II
有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； - 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。
示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。
示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5
思路
本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。
本题物品的重量为stones[i]，物品的价值也为stones[i]。
对应着01背包里的物品重量weight[i]和 物品价值value[i]。
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示容量（这里说容量更形象，其实就是重量）为j的背包，最多可以背dp[j]这么重的石头。
- 确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题则是：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
其中dp[j - stones[i]]为 容量为j - stones[i]的背包最大所背重量。
- dp数组如何初始化
们要求的target其实只是最大重量的一半，把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小。
因为重量都不会是负数，所以dp[j]都初始化为0就可以了，这样在递归公式dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);中dp[j]才不会初始值所覆盖。
- 确定遍历顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历
- 举例推导dp数组
最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。
那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp[target]，另一堆就是sum - dp[target]。
在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。
那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp[target]) - dp[target]。
完整代码
public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
int sum = 0;
for (int stone : stones) {
sum += stone;
}
// 要求总重量的一半
int target = sum / 2;
int[] dp = new int[target + 1];
for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
}
}
return sum - dp[target] - dp[target];
}
494. 目标和
给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1
回溯思路
这道题初看是用回溯法做，直接暴力搜索出所有情况。和39. 组合总和问题很相似。
动态规划背包思路
这道题目咋眼一看和动态规划背包啥的也没啥关系。
本题要如何使表达式结果为target
- 如何转化为01背包问题呢？
假设原数组没有添加符号的所有正数和为 sum
假设添加 + 的总和为x，那么添加 - 对应的总和就是 sum - x。
所以题目的目标和是 x - (sum - x) = target
所以 x = (target + sum) / 2
此时问题就转化为，装满容量为x背包，有几种方法。
看到(target + sum) / 2 应该担心计算的过程中向下取整有没有影响。
这么担心就对了，例如sum 是5，target是2的话其实就是无解的，所以：
if ((S + sum) % 2 == 1) return 0; // 此时没有方案
同时如果 target的绝对值已经大于sum（没有负号的情况下都达不到目标值），那么也是没有方案的。
if (Math.abs(S) > sum) return 0; // 此时没有方案
再回归到01背包问题，为什么是01背包呢？因为每个物品（题目中的1）只用一次！
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j] 表示：填满j（包括j）这么大容积的包（使和达到x），有dp[j]种方法
- 确定递推公式
不考虑nums[i]的情况下，填满容量为j的背包，有dp[j]种方法。
那么考虑nums[i]的话（只要搞到nums[i]），凑成dp[j]就有dp[j - nums[i]] 种方法。
例如：dp[j]，j 为5，
- 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 dp[5]；
- 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 dp[5]；
- 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]种方法 凑成 dp[5]；
- 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]种方法 凑成 dp[5]；
- 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]种方法 凑成 dp[5]。
那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来。
所以求组合类问题的公式，都是类似这种：
dp[j] += dp[j - nums[i]]
这个公式在其他在背包解决排列组合问题的时候还会用到！
- dp数组如何初始化
从递归公式可以看出，在初始化的时候dp[0] 一定要初始化为1，因为dp[0]是在公式中一切递推结果的起源，如果dp[0]是0的话，递归结果将都是0。
dp[0] = 1，理论上也很好解释，装满容量为0的背包，有1种方法，就是装0件物品。
dp[j]其他下标对应的数值应该初始化为0，从递归公式也可以看出，dp[j]要保证是0的初始值，才能正确的由dp[j - nums[i]]推导出来。
- 确定遍历顺序
01背包问题一维dp的遍历，nums放在外循环，target在内循环，且内循环倒序。
- 举例推导dp数组
输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], target: 3
bagSize = (target + sum) / 2 = (3 + 5) / 2 = 4
完整代码
public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
int sum = 0;
for (int num : nums) {
sum += num;
}
// 如果背包容量为奇数那就肯定不成立
if ((target + sum) % 2 != 0) return 0;
// 如果目标和绝对值超出sum
if (Math.abs(target) > sum) return 0;
// 背包j的大小
int bagSize = (target + sum) / 2;
// 如果添加正号的总和小于0，那也是不成立的
if (bagSize < 0) return 0;
int[] dp = new int[bagSize + 1];
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[bagSize];
}
474. 一和零
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。
示例 2：
输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
思路
多重背包是每个物品，数量不同的情况。
**本题中strs 数组里的元素就是物品，每个物品都是一个！**所以是
而m 和 n相当于是一个背包，两个维度的背包。
但本题其实是01背包问题。不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i] [j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i] [j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。
当前有i个0和j个1的子集大小为dp[i] [j]，前一个状态就是去掉当前0的个数zeroNum和1的个数oneNum，再加上1（加上当前的字符串），dp[i] [j] 就可以是 dp[i - zeroNum] [j - oneNum] + 1
在遍历的过程中，取dp[i] [j]的最大值。
所以递推公式：dp[i] [j] = max(dp[i] [j], dp[i - zeroNum] [j - oneNum] + 1);
对比01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）
- dp数组如何初始化
01背包的dp数组初始化为0就可以。
因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
对有两个维度的背包也是从后往前遍历。
本题中物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。因此先遍历物品在遍历背包
- 举例推导dp数组
以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例
