一、题干

背包最大重量为4。物品为：

物品名称	重量	价值
0	1	15
1	3	20
2	4	30
–	–	–

问背包能背的物品最大价值是多少？

二、解法

二维dp：
递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
在这里插入图片描述

void test_2_wei_bag_problem1() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagweight = 4;

    // 二维数组
    vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));

    // 初始化
    for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
        dp[0][j] = value[0];
    }

    // weight数组的大小 就是物品个数
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

        }
    }

    cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}

int main() {
    test_2_wei_bag_problem1();
}

一维dp：
递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

void test_1_wei_bag_problem() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;

    // 初始化
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}

int main() {
    test_1_wei_bag_problem();
}

三、问答题

为什么二维dp两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？
答：反过来可以，原因是递推公式里本层遍历输入都在本层的左上角。
讲一讲初始化的逻辑。
答：二维背包中，dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0；而dp[0][i], 当 i >= weight[0] 时 = value[0]，否则为0; 其他无所谓，都会被覆盖。
一维背包中，dp[0] = 0, 如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？
答：不可以。因为一维dp的写法，背包容量一定是要倒序遍历（倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！），如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品，即：背包里只放入了一个物品。（原因是，dp数组初始化是0，在先遍历背包容量时，由于从后向前遍历，dp[j - weight[i]] = 0, 没用上上一个状态。）

倒序遍历的原因是，本质上还是一个对二维数组的遍历，并且右下角的值依赖上一层左上角的值，因此需要保证左边的值仍然是上一层的，从右向左覆盖。