这道题是实验舱举办的"编程一小时"千人马拉松竞赛的第三题!
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#C、互异数
题目描述
在1616进制下,如果一个数字的各个数位上的值都互不相同那么称这个数为互异数
如9,A,1A9,A,1A等
前2020个互异数为:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,12,13,14,151,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,12,13,14,15
现在需要你找出第KK小的互异数
输入格式
输入一个整数KK
输出格式
输出1616进制下第KK小的互异数
输入样例1
33
输出样例1
23
输入样例2
546481140
输出样例2
FEDCBA98
数据规模
对于30\%30%的数据,1 \leq K \leq 10^31≤K≤103
对于70\%70%的数据,1 \leq K \leq 10^71≤K≤107
对于100\%100%的数据,1 \leq K \leq 533194120811401≤K≤53319412081140
思路:
? 1.最大互质数
不难想到
-
最大的互异数为FEDCBA9876543210
? 2.互质数的数量
-
长度为?lenlen?的互异数有?15 \times A_{15}^{len-1}15×A15len?1??个
一共有?\displaystyle \sum_{i=1}^{16} 15 \times A_{15}^{i-1} = 53319412081140i=1∑16?15×A15i?1?=53319412081140?个互异数
求第KK小较为不易
? 3.贪心策略
确定第?KK?小互异数的长度?lenlen,不妨转化为求长度为?lenlen?的第?SS?大
从高到低逐数位贪心考虑填入\text{0} \sim \text{F}0～F,每个数位从?\text{F} \rightarrow \text{0}F→0?尝试放入(首位忽略00,已放过的值不再考虑)
设当前从高到低考虑到第?pp?个数位,当前尝试的数位值为?c_pcp?
若当前数位已确定,那么?p+1 \sim lenp+1～len?数位构成的互异数有A_{16-p}^{len-p}A16?plen?p?个
若S \gt A_{16-p}^{len-p}S>A16?plen?p?
说明此时c_pcp?贡献排名不够尝试更小的数位
同时令?S\leftarrow S - A_{16-p}^{len-p}S←S?A16?plen?p?
若此时?S \leq A_{16-p}^{len-p}S≤A16?plen?p?
说明此时c_pcp?贡献排名足够,当前数位值已经确定为c_pcp?,继续考虑下一个数位
总代码:
?
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long k, fac[21], len = 16, cnt[21], b[21], T = 53319412081140;
bool vis[21];
char str[] = {'0', '1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9', 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'};
long long A(int n, int m)
{
if (m > n)
return 0;
return fac[n] / fac[n - m];
}
int main()
{
#endif
fac[0] = fac[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 21; i++)
fac[i] = fac[i - 1] * i;
scanf("%lld", &k);
for (int i = 16; i; i--)
cnt[i] = cnt[i + 1] + 15 * A(15, i - 1); //求出各数位的互异数个数,求出前缀和
k = T - k + 1; //转成全局第 S 大
while (k > cnt[len]) //确定位数
len--;
k -= cnt[len + 1]; //转为长度为 len 的第 S 大
for (int i = 1; i <= len; i++) //逐数位考虑
for (int j = 15; j >= (i == len ? 1 : 0); j--)
{
if (vis[j])
continue;
long long x = A(16 - i, len - i);
if (k > x)
k -= x;
else
{
vis[j] = true, putchar(str[j]);
break;
}
}
return 0;
}总结:
? 这人道题重要的是自己去想自己去算,最后推出来是贪心的策略!
题目链接:
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