写在前面

你好！欢迎来到我的博客，希望我的思路能够帮到你！

问题描述

这是一个古老而又经典的问题。用给定的几种钱币凑成某个钱数，一般而言有多种方式。例如：给定了 6 种钱币面值为 2、5、10、20、50、100，用来凑 15 元，可以用 5 个 2 元、1个 5 元，或者 3 个 5 元，或者 1 个 5 元、1个 10 元，等等。显然，最少需要 2 个钱币才能凑成 15 元。

你的任务就是，给定若干个互不相同的钱币面值，编程计算，最少需要多少个钱币才能凑成某个给出的钱数。

输入形式

输入可以有多个测试用例。每个测试用例的第一行是待凑的钱数值 M（1 <= M<= 2000，整数），接着的一行中，第一个整数 K（1 <= K <= 10）表示币种个数，随后是 K个互不相同的钱币面值 Ki(1 <= Ki <= 1000)。输入 M=0 时结束。

输出形式

每个测试用例输出一行，即凑成钱数值 M 最少需要的钱币个数。如果凑钱失败，输出“Impossible”。你可以假设，每种待凑钱币的数量是无限多的。

样例输入

15
6 2 5 10 20 50 100
1
1 2
0

样例输出

2
Impossible

解题思路

这是一道dp问题，dp问题的一大特点就是代码特别短。

dp问题可以分为两个部分，集合的表示及属性，集合的划分，对于这道题

集合：凑i元所需的硬币数

属性：最小值（常见的属性：max，min，数量）

集合的划分：我们可以以上一次使用的硬币作为划分的依据，对于i元，我们上次可使用的硬币是1,2,3,...,i元，但是前提是要有这样的硬币，所以可以遍历整个硬币数组，所以我们的状态转移方程为f[i]=min(f[i-w[j]]+1);。

AC代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int N=15,M=2010,inf=0x3f3f3f3f;
int m,n;
int w[N];
int f[M];//凑i元需要的硬币数的最小值

int main()
{
    while(cin>>m,m)//多case，输入钱数
    {
    	//输入
        cin>>n;//输入硬币种类数
        for(int i=0;i<n;i++)
            cin>>w[i];//输入硬币
        
        //初始化
		memset(f,inf,sizeof f);//初始化f数组，将其置为inf
        f[0]=0;//凑0元当然需要0个硬币
        
        //dp
		for(int i=1;i<=m;i++)//遍历所有的钱数
            for(int j=0;j<n;j++)//遍历所有的硬币
                if(i>=w[j])//如果钱数大于硬币面值
                    f[i]=min(f[i],f[i-w[j]]+1);//更新
        
        //输出
		if(f[m]==inf) cout<<"Impossible"<<endl;//说明不存在方法凑出对应面额
        else cout<<f[m]<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}