[游戏开发]【Overload游戏引擎】源码分析之一：OvMaths函数库（上）

2021SC@SDUSC?

OvMaths函数库主要包含了关于矩阵、向量等操作的函数，同时作为游戏引擎的数学库，OvMaths中还包含了计算机图形渲染所需的转化矩阵等的计算方法。以下是正文部分。

1.向量操作函数

该函数库中的向量操作函数包括2维、3维、4维这三种，以下仅对3维向量进行分析，4维向量由于其在计算机图形学中的特殊性，将会单独分析。

1.1 3维向量

namespace OvMaths
{
	/**
	* Mathematic representation of a 3D vector of floats
	*/
	struct FVector3
	{
		static const FVector3 One;
		static const FVector3 Zero;
		static const FVector3 Forward;
		static const FVector3 Right;
		static const FVector3 Up;

		float x;
		float y;
		float z;

首先简单看看，3维向量定义了一个全1向量与一个全0向量，方便在下文的函数中直接调用。

然后是3个比较重要的向量：forward，up，right。下文简单介绍一下相关的图形学知识。

#include <utility>
#include <stdexcept>
#include <cmath>

#include "OvMaths/FVector3.h"

const OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::One(1.0f, 1.0f, 1.0f);
const OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::Zero(0.0f, 0.0f, 0.0f);
const OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::Forward(0.0f, 0.0f, 1.0f);
const OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::Right(1.0f, 0.0f, 0.0f);
const OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::Up(0.0f, 1.0f, 0.0f);

在计算机图形学中，LookAt矩阵被用于定义摄像机的视角坐标系，而LookAt矩阵就是由forward，up，right这三个向量构成的。

其中forward向量为摄像机当前朝向的反方向，在初始世界坐标系中指向z轴的正半轴，因为摄像机会朝向z轴负半轴。

而right向量一般会由y轴叉乘forward向量获得，指明摄像机右侧方向。

最后将right向量与forward叉乘得到up向量。

（上图来自于LearnOpenGL官网）?

往后是一系列的运算符重载函数与3维向量的基本运算法则，涉及基础的线性代数知识，这里不作详细讲解。

顺带一提，这部分计算的函数先定义了基础操作函数，例如Add，之后在运算符重载中直接复用，极大精简了代码。

OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::operator+(const FVector3& p_other) const
{
	return Add(*this, p_other);
}

OvMaths::FVector3 OvMaths::FVector3::Add(const FVector3& p_left, const FVector3& p_right)
{
	return FVector3
	(
		p_left.x + p_right.x,
		p_left.y + p_right.y,
		p_left.z + p_right.z
	);
}

1.2 4维向量

值得一提的是，在2维与3维向量中都存在以下这个夹角求值函数，但在4维向量中就消失了。这涉及到图形学中的一个概念——齐次坐标系。

float OvMaths::FVector3::AngleBetween(const FVector3& p_from, const FVector3& p_to)

关于齐次坐标系的详细内容将会留到4维矩阵处一同作答，但是在此有一处要点先提前指出：

在OvMaths中，4维向量在进行算术操作后并未除以w值，这点需要注意。

2.矩阵操作函数

2.1 3维矩阵

矩阵这部分的内容与向量类似，只介绍3维与4维齐次矩阵。

在3维矩阵中，采用了一个一维数组进行存储，这样方便了矩阵元素的顺序查找。

同时，结构体中定义了单位矩阵identity，将会在下文的矩阵计算中发挥重要作用。

#include <stdint.h>

#include "OvMaths/FVector3.h"
#include "OvMAths/FVector2.h"

namespace OvMaths
{
	/**
	* Mathematic representation of a 3x3 Matrix of floats
	*/
	struct FMatrix3
	{
		float data[9];
		static const FMatrix3 Identity;

矩阵的操作函数与向量的架构类似，都是先定义独立的算术操作，之后在运算符重载中复用。

但是在这类函数中，出现了这样一种特殊的函数（如下图）。

OvMaths::FMatrix3 OvMaths ::FMatrix3::Add(const OvMaths::FMatrix3 & p_left, float p_scalar)

众所周知，矩阵是不能与单独的数字进行加减法操作的，但是在函数库中出现矩阵与一个浮点数的算术操作。具体操作内容如下：

{
	FMatrix3 result(p_left);
	for (uint8_t i = 0; i < 9; ++i)
		result.data[i] += p_scalar;
	return result;
}

可知该操作为矩阵的每个元素加或减去一个相同的浮点数，具体实用留待日后观察。

同时，与向量不同的是，矩阵中增加了图形坐标的转化操作（如下）

	static FMatrix3 Translation(const FVector2& p_translation);

	static FMatrix3 Translate(const FMatrix3& p_matrix, const FVector2& p_translation);

	static FMatrix3 Rotation(float p_rotation);

	static FMatrix3 Rotate(const FMatrix3& p_matrix, float p_rotation);

	static FMatrix3 Scaling(const FVector2& p_scale);

	static FMatrix3 Scale(const FMatrix3& p_matrix, const FVector2& p_scale);

平移（translate）、旋转（rotate）、缩放（scale）是平面与空间坐标系中最常见的变化操作，该部分的函数分为两类：前半部分是求变换矩阵，后半部分进行变换操作。

对于3维矩阵，只能进行2维平面的图形变换，对于三维空间的图形变换，以及相关的函数将在4维矩阵中详细讲解。

2.2 4维矩阵

4维矩阵是图形学中用于实现图形坐标变换的重要途径，以下将结合代码详细讲解。

2.2.1纺射变换矩阵

平移函数（translate）

OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::Translation(const FVector3& p_translation)
{
	return FMatrix4(1, 0, 0, p_translation.x,
					0, 1, 0, p_translation.y,
					0, 0, 1, p_translation.z,
					0, 0, 0, 1);
}

在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作，对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。如果我们把位移向量表示为(Tx,Ty,Tz)，我们就能把位移矩阵定义为：

齐次坐标（Homogeneous Coordinates）

向量的w分量也叫齐次坐标。想要从齐次向量得到3D向量，我们可以把x、y和z坐标分别除以w坐标。我们通常不会注意这个问题，因为w分量通常是1.0。

使用齐次坐标有几点好处：它允许我们在3维向量上进行位移。如果没有w分量我们是不能位移向量的，因为平移操作是非线性的，3维空间无法通过一个3维矩阵实现平移。

如果一个向量的齐次坐标是0，这个坐标就是方向向量(Direction Vector)，因为w坐标是0，这个向量就不能位移。

缩放函数（scale）

OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::Scaling(const FVector3& p_scale)
{
	return FMatrix4(p_scale.x, 0, 0, 0,
					0, p_scale.y, 0, 0,
					0, 0, p_scale.z, 0,
					0, 0, 0, 1);
}

?我们只需要在矩阵对角线上前3个位置填上缩放的倍数，经过如下变换之后就能得到缩放后的坐标。由于缩放操作是线性的，所以齐次坐标对其没有影响。

旋转函数（rotate）

OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::RotationOnAxisX(float p_rotation)
{
	return FMatrix4(1, 0, 0, 0,
		0, std::cos(p_rotation), -std::sin(p_rotation), 0,
		0, std::sin(p_rotation), std::cos(p_rotation), 0,
		0, 0, 0, 1);
}


OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::RotationOnAxisY(float p_rotation)
{
	return FMatrix4(std::cos(p_rotation), 0, -std::sin(p_rotation), 0,
					0, 1, 0, 0,
					std::sin(p_rotation), 0, std::cos(p_rotation), 0,
					0, 0, 0, 1);
}


OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::RotationOnAxisZ(float p_rotation)
{
	return FMatrix4(std::cos(p_rotation), -std::sin(p_rotation), 0, 0,
					  std::sin(p_rotation), std::cos(p_rotation), 0, 0,
					  0, 0, 1, 0,
					  0, 0, 0, 1);
}

根据代码我们可以看出，图形旋转的3种主要形式分别为沿x、y、z轴旋转，根据旋转轴的不同，旋转矩阵的形式也不同，下图列出了相关的旋转矩阵。

利用旋转矩阵我们可以把任意位置向量沿一个单位旋转轴进行旋转。也可以将多个矩阵复合，比如先沿着x轴旋转再沿着y轴旋转再沿着z轴旋转。

OvMaths::FMatrix4 OvMaths::FMatrix4::RotationYXZ(float p_rotation)
{
	FMatrix4 Xrot = RotationOnAxisX(p_rotation);
	FMatrix4 Yrot = RotationOnAxisY(p_rotation);
	FMatrix4 Zrot = RotationOnAxisZ(p_rotation);

	return Yrot * Xrot * Zrot;
}

但是这会很快导致一个问题——万向节死锁（Gimbal Lock）。在这里我们不讨论它的细节，但是对于3D空间中的旋转，一个更好的模型是沿着任意的一个轴，比如单位向量(0.662, 0.2, 0.7222)旋转，而不是对一系列旋转矩阵进行复合。这样的一个（超级麻烦的）矩阵是存在的，见下面这个公式，其中(Rx,Ry,Rz)(Rx,Ry,Rz)代表任意旋转轴：

但是即使这样一个矩阵也不能完全解决万向节死锁问题（尽管会极大地避免）。避免万向节死锁的真正解决方案是使用四元数(Quaternion)，它不仅更安全，而且计算会更有效率。有关四元数的知识在这里就不多加介绍。

下一节，我将介绍OvMaths库中最重要的内容——投影变换。