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[游戏开发]unity3D数学基础-坐标系、向量、矩阵

坐标系

左右手坐标系

左手坐标系：伸开左手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，其他三个手指指向Z轴正方向。
右手坐标系：伸开右手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，其他三个手指指向Z轴正方向。

3D笛卡尔坐标系：右手坐标系
OpenGL：右手坐标系
Direct3D：左手坐标系
Unity3D：左手坐标系（世界坐标系），即+x, +y, +z分别指向右方，上方和前方。????

各种坐标空间(坐标系)

部分空间种类

模型空间

unity约定：使用的左手坐标系，XYZ分别对应着右上前。
模型空间的原点和坐标轴通常由美术人员在建模软件里确定好的。当导入到unity中，我们可以在顶点着色器中访问到模型的顶点信息，其中包含了每个顶点的坐标，这些坐标都是相对于模型空间中的原点（通常位于模型的重心）定义的。
检视视图中显示的为localPosition的值。
transform.localPosition（本地坐标）可以获得物体在父物体的局部坐标系中的位置点。

世界空间

unity约定：使用左手坐标系，但它的XYZ轴是固定不变的。
transform.position来获取游戏对象的世界坐标。

观察空间

右手坐标系，这是符合OpenGL传统的，再这样的观察空间中，摄像机的正前方向指的是-z轴方向。
unity约定：摄像机位于原点，+x轴指向右方，+y轴指向上分，而+z轴指向的是摄像机的后方。

裁切空间

目标是能够方便地对渲染图元进行裁剪：完全位于这块空间内部的图元将会被保留，完全位于这块空间外部的图元将会被剔除，而与这块空间边界相交的图元就会被裁剪。
这块空间是由视椎体来决定。

屏幕空间

左手坐标系
以像素来定义的，屏幕的左下角为（0,0），右上角为（Screen.width, Screen.height），z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。
屏幕空间是一个二维空间。
鼠标位置坐标属于屏幕坐标，通过Input.mousePosition可以获得该位置的坐标。
手指触摸屏幕也为屏幕坐标，Input.GetTouch(0).position可以获得单个手指触摸屏幕时手指的坐标。

视口空间

将Game视图的屏幕坐标系单位化
左下角（0,0），右上角（1,1）。z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。

相互空间转换

shader中空间转换

模型变换：顶点变换的第一步就是将顶点从模型空间变换到世界空间中。这个变换通常叫做模型变换。注意这里的变换顺序是不能互换的，即先进行缩放，然后进行旋转，最后是平移，然后我们可以构建出模型变换的变换矩阵(因为矩阵不满足交换律，所以不要随便调换变换顺序)
观察变换：顶点变换的第二步，就是将顶点坐标从世界空间变换到观察空间中，这个变换通常叫做观察变换。一种方法是计算观察空间中的三个坐标轴在世界空间下的表示，然后构建出观察空间变换到世界空间的变换矩阵，再对该矩阵求逆得到从世界空间变换到观察空间的变换矩阵。另一种方法是想象平移整个观察空间，让摄像机原点位于世界坐标的原点，坐标轴与世界空间中的坐标轴重合即可
投影变换：顶点变换的第三步，就是将顶点坐标从观察空间变换到裁切空间(也被称为齐次裁剪空间)中，这个变换通常叫做投影变换，这个用于变换的矩阵叫做裁剪矩阵，也被称为投影矩阵。
- 目的：首先是为投影做准备，真正的投影发生在后面的齐次除法过程中，而经过投影矩阵变换后，顶点的w分量将会有特殊的意义；其次是对x,y,z分量进行缩放。
- 视椎体指的是空间中的一块区域，这块区域决定了摄像机可以看到的空间。视椎体由两种类型，这涉及两种投影：一种是正交投影，一种是透视投影。
- 投影：可以理解成一个空间的降维，例如从四维空间投影到三维空间，而投影矩阵实际上并不会真正的进行投影，它会为真正的投影做准备工作。真正的投影会在屏幕映射时发生，通过齐次除法来得到二维坐标。
屏幕映射：就是把顶点从裁剪空间投影到屏幕空间中，来生成对应的2D坐标。在unity中，从裁剪空间到屏幕空间的转换一般是底层帮我们完成的，我们顶点着色器只需要把顶点转换到裁剪空间即可。最后由此通过齐次除法和映射到屏幕。——分为两个步骤：首先进行标准齐次除法，也被称为透视除法。就是用齐次坐标系的w分量去除以x，y，z分量；经过齐次除法后，透视投影和正交投影的视椎体都变换到一个相同的立方体内。接下来可以根据变换后的x和y坐标来映射输出窗口的对应像素坐标。

unity中C#相关API

Transform.forward, Transform.right, Transform.up：当前物体的物体坐标系的z轴，x轴，y轴在世界坐标系上的指向。
Transform.TransformPoint(Vector3 position) :将一个坐标点从局部坐标系转换到全局坐标系。
Transform.InverseTransformPoint(Vector3 position)：将坐标点从全局坐标系转换到局部坐标系。
Transform.TransformDirection(Vector3 direction):将一个方向从局部坐标系转换到全局坐标系。
Transform.InverseTransformDirection(Vector3 direction)：将一个方向从全局坐标系转换到局部坐标系。
Transform.TransformVector(Vector3 vector):将一个向量从局部坐标系转换到全局坐标系。
Transform.InverseTransformVector(Vector3 vector):将一个向量从全局坐标系转换到局部坐标系。
Camera.ScreenToWorldPoint(Vector3 position): 将屏幕坐标转换为全局坐标。
Camera.WorldToScreenPoint(Vector3 position):将全局坐标转换为屏幕坐标。
Camera.ScreenToViewportPoint(Vector3 position)：将屏幕坐标转换为视口坐标。
Camera.ViewportToScreenPoint(Vector3 position)：将视口坐标转换为屏幕坐标。
Camera.WorldToViewportPoint(Vector3 position)：将全局坐标转换为视口坐标。
Camera.ViewportToWorldPoint(Vector3 position)：将视口坐标转换为全局坐标。

向量

认识向量

在数学中，向量（也称为矢量），是指具有大小和方向的量；书写向量时，水平书写的向量叫做行向量
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
垂直书写的向量叫做列向量。
$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
向量的大小就是向量的长度，也叫做模。向量的方向描述了空间中向量的指向；向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。
点中的数表示了一个位置，它没有大小、方向的概念；点只有位置，适量只有方向和大小，任何一个点都可以表示成一个从原点出发的矢量。

向量运算

特殊向量

零向量：大小为0，没有方向的向量，并且它不可以被归一化。
负向量：向量变负,将得到一个和原向量方向相反、大小相等的向量。
单位向量：也叫做标准化向量，就是大小为1的向量；对任意的非零向量，我们都可以计算出它的单位向量，即将其归一化(normalization)。单位向量的表示
$\widehat{\bf{a}} =\frac{\bf{a}}{\begin{vmatrix} \bf{a} \end{vmatrix}}$
在Unity中，可以使用Vector3.Normalize来归一化向量。使用Vector3.normalized来获得归一化后的单位向量；Vector3.Normalize改变当前向量，Vector3.normalized当前向量是不改变的并且返回一个新的规范化的向量。

向量的长度

即向量的大小，或者向量的模。
向量的大小就是向量各分量平方和的平方根
在Unity中，可以通过Vector3.magnitude计算向量的长度。Vector3.sqrMagnitude则返回向量长度的平方；Vector3.Distance(A,B)可以计算2个点A,B之间的距离，即返回向量AB或向量BA的长度。

向量与标量的乘/除法

向量与标量的乘法，即将向量的每个分量分别与标量相乘。
向量与非零标量的除法，即乘以该标量的倒数。

向量的加/减法

只有在两个向量的维度相同时，才可以相加或相减。
向量的加法和减法，即将向量的各个分量相加或相减。
向量的加法满足交换律和结合律，向量的减法仅满足结合律。
几何意义：对于加法，我们可以把矢量a的头连接到矢量b的尾，然后画一条从a的尾到b的头的矢量，来得到a和b相加后的矢量。减法类似
公式： $\vec{a} + \vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) \\ \vec{a} - \vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$

向量的点积

也叫做向量的内积。表示如下：其中点不可以省略
$\vec{a} \cdot \vec{b}$
两种计算公式如下：
$\vec{a} \cdot \vec{b}=\rvert \vec{a} \rvert \rvert \vec{b} \rvert \cos \theta \\ \vec{a} \cdot \vec{b}=(a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z)$
点积满足交换律。
向量点积的结果是一个标量
几何意义：
- 点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两向量越相近
- 投影：向量b在向量a上的投影的长度可以表示为
  $\begin{vmatrix} \vec{b} \to \vec{a} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \vec{b} \end{vmatrix} \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\begin{vmatrix} \vec{a} \end{vmatrix}}$
重要性质：
- 点积可结合标量乘法
  $\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k \vec{b})=k ( \vec{a} \cdot \vec{b})$
- 点积可结合矢量加减法
  $\vec{a} \cdot ( \vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$
- 一个矢量和本身进行点积的结果是该矢量的模的平方

向量的叉积

也叫做向量的外积。表示如下：其中叉不可以省略
$\vec{a} \times \vec{b}$
计算公式如下：
$\begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2}\\ z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2}\\ x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2} \end{bmatrix}$
三重积： $\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
点积不满足交换律，也不满足结合律。
向量叉积的结果仍是一个向量
几何意义：
- 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
- 叉乘的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积
  $\begin{vmatrix} \vec{a} \times \vec{b} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{a} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \vec{b} \end{vmatrix} \sin \theta$
- 叉乘的长度也等于以a和b为两边的平行四边形的面积

矩阵

认识矩阵

在数学中，矩阵是一个按照长方阵排列的复数或实数的集合。
在一个m×n的矩阵A中，有m×n个数，这些数称为矩阵A的元素。数 a_ij 位于矩阵的第i行，第j列，称为矩阵A的(i,j)元素。
矩阵中元素的下标是从1开始的。
$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots &a_{ij} \\ \end{bmatrix}$

矩阵和标量的乘法

矩阵和标量相乘，得到的仍然是一个相同维度的矩阵。矩阵和标量的乘法，即矩阵的每个元素和该标量相乘

矩阵和矩阵的加/减法

只有维度相同的矩阵，才可以相加相减
矩阵和矩阵的相加/相减即矩阵各相同位置的元素的相加相减

矩阵和矩阵的乘法

公式：一个r×n的矩阵A和一个n×c的矩阵B相乘，它们的结果AB将会是一个r×c大小的矩阵。这里第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同，他们相乘得到的矩阵的行数是第一个矩阵的行数，列数是第二个矩阵的列数。
演示：
矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律及以下关系： $\mathbf{AB}\neq \mathbf{BA} \\ \left ( \mathbf{AB} \right )\mathbf{C}= \mathbf{A}\left ( \mathbf{BC} \right ) \\ \mathbf{AB}= \mathbf{B^{T}A}$
矩阵的几何意义
1. 方阵的的行能被解释为坐标系的基向量；
2. 为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，用它乘以一个矩阵；
3. 从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变换是一种线性变换；线性变换保持直线和平行线，但角度、长度、面积和体积可能会被改变。
4. 零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此，方阵代表的线性变换的原点和原坐标系的原点一致，变换不包含原点。
5. 可以通过想象变换后的坐标系的基向量来想象矩阵，这些基向量在2D中构成“L”型，在3D中构成“三角架”型。

如何理解矩阵相乘的几何意义或现实意义？

向量和矩阵相乘：行向量左乘矩阵时，结果是行向量；列向量右乘矩阵时，结果是列向量，其他相乘顺序是不允许的。

特殊矩阵

方阵

行数和列数相等的矩阵被称为方块矩阵

对角矩阵

对角线元素：方阵中行号和列号相同的元素，其他元素为非对角线元素
如果一个矩阵除了对角元素外的所有元素都为0，那么这个矩阵就叫做对角矩阵

单位矩阵

对角线元素为1，其他元素为0。（乘法单位元）

转置矩阵

一个r×c矩阵M,M的转置记作 $\bf M^T$ 是一个c×r矩阵，它的列由M的行组成。即
$M_{ij}^{T}=M_{ji}$
性质1：矩阵转置的转置等于原矩阵：
$\left (\mathbf{M} ^{T}\right )^{T}=\mathbf{M}$
性质2：矩阵串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置：
$\left ( \mathbf{AB} \right )^{T}=\mathbf{B}^{T}\mathbf{A}^{T}$

逆矩阵

给定一个方阵M，它的逆矩阵表示:
$\bf{M}^{-1}$
如果一个矩阵有相应的逆矩阵，则可以说这个矩阵是可逆的，或者说是非奇异的。如果一个矩阵没有相应的逆矩阵，则可以说这个矩阵是不可逆的，或者说是奇异的。
性质1：只有方块矩阵才可能有逆矩阵，因为一个矩阵A和它的逆矩阵B需要满足条件：AB = I(I是单位矩阵)。
$\mathbf{M}\mathbf{M}^{-1}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M}=\mathbf{I}$
性质2：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身。
$\left ( \mathbf{M}^{-1} \right )^{-1}=\mathbf{M}$
性质3：单位矩阵的逆矩阵是它本身
$\mathbf{I}^{-1}=\mathbf{I}$
性质4：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
$\left ( \mathbf{M}^{T} \right )^{-1}=\left ( \mathbf{M}^{-1} \right )^{T}$
性质5：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵（这个性质可以扩展到更多矩阵相乘）
$\left ( \mathbf{AB} \right )^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$
对于所有元素都为0的矩阵，没有对应的逆矩阵。
?矩阵的逆的几何解释：如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆进行变换，将会得到原向量。

正交矩阵

如果一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵的话，我们就说这个矩阵是正交的： $\mathbf{M}\mathbf{M}^{T}=\mathbf{M}^{T}\mathbf{M}=\mathbf{I}$
推理：如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的。
几何意义：若一个矩阵是正交矩阵，它必须满足下列条件：
1. 矩阵的每一行都是单位向量
2. 矩阵的所有行互相垂直
线性代数中一组向量互相垂直，这组向量被认为是正交基；如果他们同时满足都是单位向量，则称他们是标准正交基

矩阵的行列式

定义
- 在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式；非方阵的行列式是未定义的。
  在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。
- 2D：帮助记忆法：将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。
  $\left | M \right |=\begin{vmatrix} m_{11} &m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{vmatrix}=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21}$
- 3D：帮助记忆法：把矩阵M连写两遍，将主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线上元素积的和减去反对角线上元素积的和。
  $\left | M \right |=\begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} &m_{13} \\ m_{21} & m_{22} &m_{23} \\ m_{31} & m_{32} &m_{33} \end{vmatrix}=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}-m_{13}m_{22}m_{31}-m_{12}m_{21}m_{33}-m_{11}m_{23}m_{32}=m_{11}(m_{22}m_{33}-m_{23}m_{32})+m_{12}(m_{23}m_{31}-m_{21}m_{33})+m_{13}(m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31})$
行列式的一些性质：
- 任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的值
- 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负
- 如果矩阵的任意行或列全为零，那么它的行列式等于零
- 矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积；这个性质可以扩展到多个矩阵情况.
  $\left | AB \right |=\left| A \right|\left| B \right|$
- 矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式。
  $\left | M^{T} \right |=\left | M \right |$
矩阵的行列式的几何意义：
- 2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积；（有符号面积是指如果平行四边形相对于远来的方位“翻转”，那么面积变负。）
- 3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号体积，3D中，如果变换使得平行六面体“由里向外”翻转，则行列式变负。
- 行列式和矩阵变换导致的尺寸改变相关。其中行列式的绝对值和面积(2D)，体积(3D)的改变相关。行列式的符号说明了变换矩阵是否包含镜像或投影。
- 矩阵的行列式还可以对矩阵所代表的变换分类：如果矩阵行列式为零，那么该矩阵包含投影；如果矩阵行列式为负，那么该矩阵包含镜像。

变换

齐次坐标

齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示，是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧氏几何里的笛卡儿坐标一般。

线性变换

定义：从代数上，是指可以保留矢量加和标量乘的变换。需要满足下面的2个条件。
$A(α+β)=A（α）+A（β）\\[1ex] A (kα)=kA(α)$
从几何的角度上去理解，需要满足：
1. 变换前是直线的，变换后依然是直线。
2. 直线比例保持不变。
3. 变换前是原点的，变换后依然是原点。
旋转和缩放都属于线性变换
1. 旋转
  2D旋转
  $R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$
  3D旋转
  绕X轴
  $R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&cos\theta&sin\theta \\ 0&-sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}$
  绕Y轴
  $R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&0&-sin\theta \\ 0&1&0 \\ sin\theta&0&cos\theta \end{bmatrix}$
  绕Z轴
  $R(\theta )=\begin{bmatrix} p^{'}\\ q^{'}\\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta&0 \\ -sin\theta&cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{bmatrix}$
  2.缩放（沿着每个坐标轴应用单独的缩放因子k）
  2D缩放
  $S(k_{x},k_{y})=\begin{bmatrix} p^{'} \\ q^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{x} & 0\\ 0 & k_{y} \end{bmatrix}$
  3D缩放
  $S(k_{x},k_{y},k_{y})=\begin{bmatrix} p^{'} \\ q^{'} \\ r^{'} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k_{x}&0&0 \\ 0&k_{y}&0 \\ 0&0&k_{z} \end{bmatrix}$

仿射变换

定义：从几何的角度去理解，需要满足：
1. 变换前是直线的，变换后依然是直线。
2. 直线比例保持不变。
推理：平移、旋转、缩放都属于仿射变换。
1. 对点平移
  $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_{x}\\ 0 & 1 & 0 & t_{y}\\ 0 & 0 & 1 & t_{z}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x+t_{x}\\ y+t_{y}\\ z+t_{z}\\ 1 \end{bmatrix}$
2. 性质
  1、平移变换不会对方向矢量产生任何影响。
  2、平移矩阵的逆矩阵就是反向平移得到的矩阵
3. 复合变换
  由于上面我们使用的是列矩阵，因此阅读顺序是从右向左，即先缩放，在旋转，最后平移。顺序很重要。
透视投影
1. 将3D空间投影到2D平面上，该平面称作投影平面，使用的是正交投影。正交投影也称作平行投影；透视投影的投影线不再是平行的，它们相交于一点，该点称作投影中心。因为投影中心在投影平面前面，投影线到达平面之前已经相交，所以投影平面上的图像是翻转的。。。当物体原理投影中心时，正交投影仍保持不变，但透视投影变小了，这种视觉现象称作透视缩略。
2. 小孔成像：
  公式：(向z=d平面投影)
  ${p}'=\begin{bmatrix} {x}'\\ {y}'\\ {z}' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx/z\\ dy/z\\ d \end{bmatrix}$
  使用矩阵进行透视投影
  $\begin{bmatrix} x & y & z & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1/d\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x & y & z & z/d \end{bmatrix}$
unity相关API
1. 使用Matrix4x4.Translate创建一个平移矩阵。
2. 使用Matrix4x4.Rotate创建一个旋转矩阵。
3. 使用Matrix4x4.Scale创建一个缩放矩阵。
4. 使用Matrix4x4.TRS创建一个移动、旋转、缩放的复合矩阵。
5. 使用Matrix4x4.MultiplyPoint或者Matrix4x4.MultiplyPoint3x4来变换一个点。
6. 使用Matrix4x4.MultiplyVector来变换一个向量。