[游戏开发]网格顶点法向量从世界坐标到切空间坐标转换：法向贴图高低模烘焙

目的

把三角网格顶点的法向量从我们通常使用的世界坐标/物体空间转换到切空间，方便在动画Animation的时候用低模渲染出高模的效果。

符号定义

假定我们有一个网格M(V, VN, F VT)，其中V表示顶点坐标矩阵，VN表示顶点法向量矩阵，F为面片索引矩阵，VT为顶点纹理坐标矩阵。特别要强调的是，如果你的纹理坐标不是和顶点一一对应的，那么首先要转换过来，至于转换的方法，和本篇文章无关，是一个通用问题。但是请私信我，我会告诉你。

世界坐标顶点法向量转切空间法向量

我们定义切空间法向量为TN，那么我们需要求从VN到TN的转换矩阵，我们把这个矩阵称为$T_{tbn}$矩阵。
$$TN=VN.T_{tbn}\text{\hspace{1em}(1)}$$
于是问题就成了怎么求转换矩阵$T_{tbn}$. 并且我们设网格M的顶点数量为n, 面片数量为m. 很显然转换矩阵$T_{tbn}$是一个$n\times 3\times 3$的矩阵。

转换矩阵$T_{tbn}$的求解

转换矩阵$T_{tbn}$是一个行向量之间正交（即点积为0）的矩阵，因为它被提出的时候就是被当成一个坐标系。该矩阵可以写成$T_{tbn}=[T_t,T_b,T_n{]}^T$。我们首先求$T_t$，这也是计算转换矩阵的核心部分。我看了很多网络上关于计算切空间的文章，不管错漏与否，都是和较早的一个文档文档相关度很高，我也是受这篇文章的启示。因为我的代码不方便公开在这里，所以把这个文档的核心代码贴出来：

$T_t$求解

下面是计算$T_t$矩阵的代码，这些代码都是最简单的C++代码，没有任何高级操作，比较浅显易懂。

#include "Vector4D.h"
struct Triangle
{
 unsigned short index[3];
};
void CalculateTangentArray(long vertexCount, const Point3D *vertex, const Vector3D *normal,
 const Point2D *texcoord, long triangleCount, const Triangle *triangle, Vector4D *tangent)
{
 Vector3D *tan1 = new Vector3D[vertexCount * 2];
 Vector3D *tan2 = tan1 + vertexCount;
 ZeroMemory(tan1, vertexCount * sizeof(Vector3D) * 2);

 for (long a = 0; a < triangleCount; a++)
 {
 long i1 = triangle->index[0];
 long i2 = triangle->index[1];
 long i3 = triangle->index[2];

 const Point3D& v1 = vertex[i1];
 const Point3D& v2 = vertex[i2];
 const Point3D& v3 = vertex[i3];

 const Point2D& w1 = texcoord[i1];
 const Point2D& w2 = texcoord[i2];
 const Point2D& w3 = texcoord[i3];

 float x1 = v2.x - v1.x;
 float x2 = v3.x - v1.x;
 float y1 = v2.y - v1.y;
 float y2 = v3.y - v1.y;
 float z1 = v2.z - v1.z;
 float z2 = v3.z - v1.z;

 float s1 = w2.x - w1.x;
 float s2 = w3.x - w1.x;
 float t1 = w2.y - w1.y;
 float t2 = w3.y - w1.y;

 float r = 1.0F / (s1 * t2 - s2 * t1);
 Vector3D sdir((t2 * x1 - t1 * x2) * r, (t2 * y1 - t1 * y2) * r,
 (t2 * z1 - t1 * z2) * r);
 Vector3D tdir((s1 * x2 - s2 * x1) * r, (s1 * y2 - s2 * y1) * r,
 (s1 * z2 - s2 * z1) * r);

 tan1[i1] += sdir;
 tan1[i2] += sdir;
 tan1[i3] += sdir;

 tan2[i1] += tdir;
 tan2[i2] += tdir;

 tan2[i3] += tdir;

 triangle++;
 }

 for (long a = 0; a < vertexCount; a++)
 {
 const Vector3D& n = normal[a];
 const Vector3D& t = tan1[a];

 // Gram-Schmidt orthogonalize
 tangent[a] = (t - n * Dot(n, t)).Normalize();
 // tangent 就是Tb矩阵结果
 // Calculate handedness
 tangent[a].w = (Dot(Cross(n, t), tan2[a]) < 0.0F) ? -1.0F : 1.0F;
 }
// tangent[a].w 很重要后面会用到。
 delete[] tan1;
}

$T_n$求解

$T_n$= VN，这个VN就是我们通常使用的世界坐标系下的顶点法向量, 没有更多东西。

$T_b$求解

$$\begin{gathered} T_b=cross(T_n,T_t)?tangent.w, \\ cross为叉积 \\ tangent.w是上面计算tangent的代码中的符号向量\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

实际应用：法向贴图生成

对单个网格进行法向量从世界空间转换到切空间是没有任何意义的，从$T_{tbn}$是一个正交矩阵就可以知道，任意一个顶点的法向量，转换到其自身切空间的结果都是$[0,0,1]$。实际上我们做的是把高模（顶点数量多的模型）顶点的法向量转换到低模（顶点数量少的模型）顶点切空间，而转换的结果我们通常称法向贴图。即
$$T{N}^{法向贴图}=V{N}^{高模}.T_{tbn}^{低模}\text{\hspace{1em}(3)}$$
所以在这里我们又多了一个任务：对于高模上每个顶点法向量，应该投影到低模哪个顶点的切空间？
要回答这个问题，可以看我们目标：法相贴图（normal map）。所以很显然，我们可以把低模和高模根据其纹理坐标，渲染到二维平面。在二维平面相同的坐标点，它们就是具有对应关系的点。然后通过插值计算得到最后的法向贴图。关于这部分有需要了解的也请留言或私信我。