1 定义
三角函数的定义:在一个平面直角坐标系中,以原点为圆心,1为半径画圆,交x轴于A点。以圆心O为旋转中心,将A点逆时针旋转θ度(一般规定逆时针旋转为正方向)至点B,设此时B点的坐标为(x, y)。 那么此时,y的值就叫做θ的正弦,记作sinθ。 x的值就叫做θ的余弦,记作cosθ。 y/x的值就叫做θ的正切,记作tanθ。
2 常用公式推导
2.1 sin2θ + cos2 = 1
因为上图中单位圆上点满足x2+y2=1,又x=sinθ,y=cosθ。 所以sin2θ+cos2θ=1。
2.2 sinθ = cos(90°-θ)、 cosθ = sin(90°-θ)
如上图,θ+β=90°。 则有sinθ=y=cosβ=cos(90°-θ)。 cosθ=x=sinβ=sin(90°-θ)。
2.3 sin(-θ) = -sinθ、 cos(-θ) = cosθ
如图,可知sin(-θ)=-y=-sinθ,cos(-θ)=x=cosθ。
2.4 sin(90°+θ) = cosθ 、cos(90°+θ)=-sinθ
如图,根据三角函数的定义sin(90°+θ)=y’,cos(90°+θ)=x’。 又△B‘y’o全等于△BxO,有y’=x,x’=-y。 于是sin(90°+θ)=y’=x=cosθ,cos(90°+θ)=x’=-y=sinθ。 同理可得sin(180°+θ) = -sinθ,cos(180°+θ) = -cosθ。
2.5 余弦定理
余弦定理主要用来解答三角形中已知两边长度及其夹角,求第三边的长度的问题。 如图,已知AB、AC的长分别为c、b,及AB、AC的夹角为θ,求BC的长度a为多少? 公式为:a2 = c2+b2-2bccosθ。 解法如下: 过B点做AC的垂线BD。
2.6 正弦定理
如图,已知△ABC外接圆的半径为r,则有a=2rsin∠A,b=2rsin∠B,c=2rsin∠C。 推导过程如下: 如图,设O为外接圆的圆心,则△AOB、△BOC、△AOC均为等边三角形。 所以,∠A+∠B+∠C = (β+θ) + (β+γ) + (γ+θ) =2(β+θ+γ)= 180° 即β+θ+γ = 90°。 做辅助线OD垂直AC与点D。 可知AD = b/2。 则有 又 故 同理可得
2.7 cos?(θ-β) = cosθcosβ + sinθsinβ
此公式推导过程如下:
△OBB’中,根据余弦定理有 又有 故 利用上面这个公式,咱们还可以推导出其他公式。 比如,我们设β = 90°-α,代入上面公式,则有 即
3 三角函数图像性质
4 Unity中三角函数常用到的地方
上面说了这么多,三角函数到底有什么用? ①在Unity中,只要涉及到旋转和角度,就不可避免的要用到三角函数,比如不同坐标系的变换矩阵、向量的点积和叉积等 ②sin和cos函数是周期波动的,我们可以用这个性质来模拟旗帜的飘动和水的波动 ③任何信号经过傅里叶变换都可以分解为无数正余弦信号的叠加,我们可以通过这些正余弦信号的频率和幅值得出一些有意义的信息,比如图片中是否有噪声 ④欧拉公式 博主个人博客本文链接。
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