[游戏开发] 【Unity Shader 笔记】一些数学基础

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[游戏开发]【Unity Shader 笔记】一些数学基础

使用书籍《Unity Shader 入门精要》，冯乐乐著。

文章目录

1. 笛卡尔坐标系

部分术语如下

基矢量（basis vector），三维坐标系的三个轴
标准正交基（orthonormal basis），三维坐标系的三个相互垂直，且长度为 1，这样的基矢量被称为标准正交基
正交基（orthogonal basis），在一些坐标系中坐标轴之间相互垂直但长度不为 1

2. 点和矢量

单位矢量与归一化
使矢量的模为 1。零矢量是不能被归一化的
矢量的点积（dot product）
公式一：
$\bf a?b=\it (a_x,a_y,a_z )?(b_x,b_y,b_z )=a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z$
公式二：
$\bf a?b=|a||b|\it cos?θ$
矢量的叉积（cross product）
公式一：
$\bf a×b=\it (a_x,a_y,a_z )×(b_x,b_y,b_z )=(a_y b_z?a_z b_y,~a_z b_x?a_x b_z,~a_x b_y?a_y b_x)$
公式二：
$\bf |a×b|=|a||b|\it sin?θ$
关于叉积的方向：使用右手，手掌的四指指向方向 a，然后向方向 b 弯曲。此时大拇指指向叉积方向。

3. 矩阵

$\bf M=\begin{bmatrix} {m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\ {m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\\ {m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}\\ \end{bmatrix}$

方块矩阵（square matrix）
行列元素数量相同的矩阵
对角矩阵（diagonal matrix）
除了对角线上的元素，其余所有元素都是 0 的矩阵
单位矩阵（identity matrix）
一种对角矩阵，对角线上的元素都为 1.用 $\rm I_n$ 表示
转置矩阵（transposed matrix）
对原矩阵 $\rm M$ 进行转置（就是翻转，行列互换），得到 $\rm M^{\it T}$
逆矩阵（inverse matrix）
原矩阵 $\rm M$ 的转置用 $\rm M^{\it -1}$ 表示。逆矩阵满足 $\rm MM^{\it -1}=\rm M^{\it -1}M=I$

如果一个矩阵有对应的逆矩阵，就说这个矩阵是 可逆的（invertible） 或 非奇异的（nonsingular），否则说是 不可逆的（noninvertible） 或 奇异的（singular）
正交矩阵（orthogonal matrix）
如果一个矩阵 $\rm M$ 和它的转置 $\rm M^{\it -1}$ 的乘积是单位矩阵 $\rm I$ 的话（ $\rm MM^{\it -1}=I$ ），就说这个矩阵是正交的。
即， $\rm M^{\it T}=\rm M^{\it -1}$

3.1. 矩阵运算

矩阵与矩阵的乘法
A 和 B 分别为两个矩阵。若乘式 AB 成立，AB 表达的含义是：A 的第 i 行所有元素，与 B 的第 j 列的所有元素，分别相乘，并相加，构成 AB 结果矩阵的第 i 行第 j 列的元素。
unity 中的矩阵运算惯例
使用列矩阵，从右往左运算
如 $\rm CBAv$ ，相当于 $\rm (C(C(Av)))$ ；
又如 $\rm vA^{\it T}B^{\it T}C^{\it T}$ ，相当于 $\rm (((vA^{\it T})B^{\it T})C^{\it T})$

3.2. 齐次坐标

使用 N+1 个数来表示 N 维坐标。

一个三维坐标，其 $w$ 分量设为 1；一个三维矢量，其 $w$ 分量设为 0。

3.3. 矩阵变换

使用 4×4 的矩阵来表示平移、旋转和缩放。 一个基础变换矩阵可以分成 4 个部分：

$\begin{bmatrix} {\bf M_{\rm 3×3}}&{\bf t_{\rm 3×1}}\\ {\bf 0_{\rm 1×3}}&{1}\\ \end{bmatrix}$

其中， $\bf M_{\rm 3×3}$ 表示缩放和旋转， $\bf t_{\rm 3×1}$ 表示平移， $\bf 0_{\rm 1×3}$ 表示零矩阵， $1$ 就是标量 1。

3.3.1. 平移矩阵

平移一个位置：

$\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{t_x}\\ {0}&{1}&{0}&{t_y}\\ {0}&{0}&{1}&{t_z}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x+t_x\\y+t_y\\z+t_z\\1 \end{bmatrix}$

平移一个矢量，不会对矢量产生任何影响：

$\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{t_x}\\ {0}&{1}&{0}&{t_y}\\ {0}&{0}&{1}&{t_z}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x\\y\\z\\0 \end{bmatrix}$

平移矩阵的逆矩阵就是反向平移的矩阵
平移矩阵不是正交矩阵

3.3.2. 缩放矩阵

缩放一个位置：

$\begin{bmatrix} {k_x}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{k_y}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{k_z}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} k_xx\\k_yy\\k_zz\\1 \end{bmatrix}$

缩放一个矢量：

$\begin{bmatrix} {k_x}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{k_y}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{k_z}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} k_xx\\k_yy\\k_zz\\0 \end{bmatrix}$

若 $k_x=k_y=k_z$ ，这样的缩放称为统一缩放（uniform sccale），否则称为非统一缩放（nonuniform scale）
缩放矩阵的逆矩阵意为缩放到原系数的倒数
这样只能沿着坐标轴方向进行缩放。若希望在任意方向上进行缩放，需要使用复合变换

3.3.3. 旋转矩阵

令点绕着 $x$ 轴旋转 $θ$ 度：

$\bf R_{\it x}(θ)=\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{\rm cos\it θ}&{\rm -sin\it θ}&{0}\\ {0}&{\rm sin\it θ}&{\rm cos\it θ}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

令点绕着 $y$ 轴旋转 $θ$ 度：

$\bf R_{\it y}(θ)=\begin{bmatrix} {\rm cos\it θ}&{0}&{\rm sin\it θ}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {\rm -sin\it θ}&{0}&{\rm cos\it θ}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

令点绕着 $z$ 轴旋转 $θ$ 度：

$\bf R_{\it z}(θ)=\begin{bmatrix} {\rm cos\it θ}&{\rm -sin\it θ}&{0}&{0}\\ {\rm sin\it θ}&{\rm cos\it θ}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

旋转矩阵的逆矩阵意为旋转相反角度
旋转矩阵是正交矩阵，并且多个旋转矩阵串联也是正交的

3.3.4. 复合变换

可以把平移、旋转和缩放进行组合。式子如下，注意列矩阵的从右到左顺序。

$\bf p_{\it new}=\bf M_{\it translation}M_{\it rotation}M_{\it scale}p_{\it old}$

约定的变换顺序是 “缩放、旋转、平移”。
对于旋转的变换顺序，unity 中顺序是 “z轴、x轴、y轴”——在此时请在矩阵乘法中按 “yxz” 的顺序进行，因为旋转会同时转动轴

4. 坐标变换

使用矩阵进行坐标变换。

进行变换的矩阵被称为过渡矩阵。因为坐标是用一维列向量表示的，因此过度矩阵应左乘上去，得到转换结果。

若想从坐标空间 C 转换为坐标空间 P，需要先用坐标空间 P 表示坐标空间 C 下的 x、y、z 轴，用三个三维列向量 $\bf x_{\it c}$ 、 $\bf y_{\it c}$ 、 $\bf z_{\it c}$ 表示，以及原点的相对位置 $\bf O_{\it c}$ 。
对于一个坐标空间 C 下的坐标 $\bf A_{\it c}=\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}^{\it T}$ ，在坐标空间 P 下的坐标为：
$\bf A_{\it p}=O_{\it c}+\it a\bf x_{\it c}+\it b\bf y_{\it c}+\it c\bf z_{\it c}$
然后使用矩阵进行表示——

转换一个位置：
$\bf A_{\it p}= \begin{bmatrix}\bf x_{\it c}&\bf y_{\it c}&\bf z_{\it c}&\bf O_{\it c}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b&c&1\end{bmatrix}^{\it T}$

转换一个矢量：
$\bf A_{\it p}= \begin{bmatrix}\bf x_{\it c}&\bf y_{\it c}&\bf z_{\it c}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}^{\it T}$

4.1. 观察空间（view space）

也称为摄像机空间（camera space）。它不是最终的屏幕空间，而是一个三维空间。

这里有个坐标变换的特殊地方。

与其他空间不同，摄像机的观察空间的正前方指向的是 -z 轴方向，是反过来的。若需要对过度矩阵进行 z 轴取反，可以左乘以下这个矩阵：

$\begin{bmatrix} {1}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{-1}&{0}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

4.2. 裁剪空间（clip space）

使用裁剪矩阵（clip matrix），将顶点从观察空间转换到裁剪空间（也称为齐次裁剪空间）。

使用视锥体（view frustum） 决定裁剪空间。视锥体由六个裁剪平面（clip planes） 包围而成。视锥体有两种类型：正交投影、透视投影。
处于这块空间内部的图元会被保留，完全位于这块空间外部的图元将会被剔除，在空间边界相交的部分会被裁剪。

4.2.1. 透视投影（perspective projection）

裁剪空间由 6 个裁剪平面组成。其中有两个特殊的裁剪平面：近裁剪平面（near clip plane）、远裁剪平面（far clip plane）。它们共同决定了摄像机可以看到的深度范围。

Unity 中的 Camera 组件，通过 Field of View（简称 FOV）属性改变视锥体的张开角度；在 Clipping Planes 中的 Near Far 属性可以分别设置近裁剪平面和远裁剪平面距离摄像机的距离。

可以通过以下公式得到两个裁剪平面的高度（宽度用纵横比得到）：

$nearClipPlaneHeight=2·Near·\rm tan \it \frac {FOV}{\rm 2}$

用 Aspect 表示摄像机的纵横比，透视投影的投影矩阵如下：

$\bf M_{\it frustum}=\begin{bmatrix} {\rm \frac {cot \frac{FOV}{2}}{Aspect}}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{\rm cot \frac {FOV}{2}}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{\rm -\frac {Far+Near}{Far-Near}}&{\rm -\frac {2·Far·Near}{Far-Near}}\\ {0}&{0}&{-1}&{0}\\ \end{bmatrix}$

把顶点乘上投影矩阵，就会这样：

$\bf M_{\it frustum} \begin{bmatrix} x\\y\\z\\1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {x\frac {cot \frac{FOV}{2}}{Aspect}}\\ {y\rm cot \frac {FOV}{2}}\\ {-z\rm \frac {Far+Near}{Far-Near}-\rm \frac {2·Far·Near}{Far-Near}}&{}\\ {-z}\\ \end{bmatrix}$

可见，经过投影的顶点， $w$ 分量变为了取反后的 z，意味着裁剪矩阵会改变空间的旋向性——空间从右手坐标系换到了左手坐标系。

一个顶带你在视锥体内，转换后的坐标就需要满足：

$-w\leq x\leq w$

$-w\leq y\leq w$

$-w\leq z\leq w$

4.2.2. 正交投影（orthographic projection）

用 unity 的 camera 组件中的 Size 属性改变锥体竖直方向上高度的一半，正交投影的投影矩阵如下：

$\bf M_{\it ortho}=\begin{bmatrix} {\rm \frac {1}{Aspect·Size}}&{0}&{0}&{0}\\ {0}&{\rm \frac {1}{Size}}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{\rm -\frac {2}{Far-Near}}&{\rm -\frac {Far+Near}{Far-Near}}\\ {0}&{0}&{0}&{1}\\ \end{bmatrix}$

使用正交投影的投影矩阵对顶点进行变换后，坐标的 $w$ 分量仍然为 1。

4.3. 屏幕空间（screen space）

经过投影矩阵的变换、裁剪的操作后，就需要把视锥体投影到屏幕空间了。

4.3.1. 齐次除法（homogeneous division）

又称为透视除法（perspective division），做法是用齐次坐标系的 $w$ 分量去除 x、y、z 分量，得到的坐标在 OpenGL 中被称作归一化的设备坐标（Normalized Device Coordinates, NDC）。对正交投影来说，它的裁剪空间已经是一个立方体了，齐次除法并没有实际影响。