- 线性代数相关
- 向量点乘 → 获得方向
- 向量叉乘 → 获得左右&内外
- 线性变换：保持网格平行并等距分布的变换
线性变换具有的性质：
- 所有的线仍是直线（包括对角线）
- 原点还在原点，不发生移动
- 我们如何理解Transformation（变换）？
????????简单的，我们可以将其理解为一系列的步骤，通过这些步骤，得以实现从三维空间到二维影像的转变。
一、二维/三维变换?
-
缩放（Scale）
-
?对称（Reflection）
-
切变（Shear）
-
?旋转（Rotation）
-
?仿射变换 = 线性变换 + 平移变换
?齐次坐标：
????????由于2D变换没有偏置量，所以无法表示2D平移的操作，而齐次坐标主要作用是引入偏置量，将平移变换(Translate)统一归入2D变换，不希望平移变换区别于其他的2D变换。
????????同时齐次坐标可以区分点与向量，根据向量的平移不变性，向量的w轴为0，点的w轴为1。
????????有了齐次坐标后，平移变换表示如下：?
-
?组合变换
? ? ? ? （1）基于旋转计算的特性（绕原点旋转），多个变换矩阵计算时一般先旋转后平移。
?????????（2）对于一个不在原点的图像，如何进行旋转变换？
????????先将图像平移到原点，变换操作结束后再平移会原位置。
-
基础变换矩阵总结
?二、MVP变换
????????MVP变换由三个变换组成，即Model Transformation、View / Camera Transformation、Projection Transformation。
-
Model transformation (placing objects)
????????将世界坐标系下的物体，用一个变化矩阵把它们的顶点坐标从局部Local坐标系（相对）转换到世界Global坐标系（绝对），即将DCC中的模型坐标转换为引擎中的模型坐标。
-
View transformation (placing camera)
????????将世界坐标系（世界中心为原点）转换到摄像机坐标系（摄像机所在位置为原点），实现第三视角向第一视角的转换。
????????（1）我们如何定义一个摄像机？
????????我们将摄像机的位置定义为，朝向定义为
，向上方向（类似于天线）定义为
。
????????（2） 如何实现M→V的转换？
????????将摄像机平移到原点，、
、
旋转到
、
、
。
????????其中，/
是摄像机向上方向（天线），
/
是摄像机观察方向，叉乘得到
/
。
????????由此、
、
模型空间坐标系转换成
、
、
观察空间坐标系。
? ? ? ?（3）如何计算目标旋转矩阵？?????????
????????旋转矩阵求法：先求原点到相机的旋转矩阵，然后求逆得到相机到原点的旋转矩阵。
????????
????????注：旋转矩阵的逆矩阵 = 旋转矩阵的转置矩阵
-
Projection transformation
????????摄像机观察到的空间通常为一个视锥体，投影变换会将该视椎体变换成一个1×1×1的标准立方体，以方便后续操作的进行。
????????投影变换有两种形式，即透视投影（Perspective Projection）与正交投影（Orthographic Projection）。
????????（1）正交投影（Orthographic Projection）
????????如何理解正交投影？
?? ? ? ? 我们将所有物体构成的空间设定为一个立方体，将该立方体通过平移与缩放，变为一个以原点为中心的1×1×1的标准立方体。
?????????变换矩阵如下：
????????（2）透视投影（Perspective Projection）
????????我们认为透视投影呈现出近大远小的现象，即与大部分相机、人眼的成像原理相同。
????????如何实现透视投影？
- 先把透视投影转换为到正交投影，即实现远平面到近平面的挤压
- 再做一次正交投影
?????????如何实现远平面到近平面的挤压？
????????首先得到屏幕宽高比，然后通过相似三角形进行计算。
?????????最终得到矩阵如下：
参考：