重要性采样概述
计算积分需要利用蒙特卡洛方法去近似，蒙特卡洛方法我这里就不讲了，有兴趣的可以看看我的知乎：蒙特卡洛方法的简单总结 - 知乎
重要性采样的目的就是加快收敛速度，所以选择pdf比较重要。
所以对于环境光采样，我们需要知道环境光每个方向上的概率密度。
环境光贴图
环境光贴图能用整个球的所有方向去采样，球面方向能转成极坐标θ[0, π]和φ[0, 2π]表示，所以我们用经纬图(long_latitude_map)来做环境光贴图。纬度可以用θ，经度用φ，例如地球仪的贴图展开：
采样long_latitude_map可以把方向转成θ和φ再转成uv来做采样：
float2 DirectionToPolar(float3 direction)
{
float3 normalizedCoords = normalize(direction);
float latitude = acos(normalizedCoords.y);
float longitude = atan2(normalizedCoords.z, normalizedCoords.x);
float2 sphereCoords = float2(longitude, latitude) * float2(0.5 / PI, 1.0 / PI);
return float2(0.5, 1.0) - sphereCoords;
}
float3 SampleEnviromentLight(float2 uv)
{
if (enviromentTextureMask == 1)
{
return _LatitudeLongitudeMap.SampleLevel(_LatitudeLongitudeMap_linear_repeat_sampler, uv, 0).rgb;
}
return enviromentColor;
}由于在Long-Latitude-Map中的θ和φ并不是从0开始，上下两级中的θ分别是π/2到-π/2，φ沿着纬线方向是0到2π，见下图：
?所以映射到uv的公式是：
环境光贴图重要性采样
构建分布
由于环境光贴图是一个离散的二维像素组成，没有通用函数，所以分布也是一个二维的分布。
但分布仅仅是用像素的亮度来决定吗？
我们可以看地球仪的展开图，极点坐标展开后，足足占了一整行像素，也就是说采样的频率和第下面赤道附近的频率一样，这样明显不符合分布，所以我们需要乘以一个sinθ来改变他们的分布，也就是说维度越高的，概率会越低。
我这里手画了一个图方便理解：
所以最后的分布构建是：亮度乘以sinθ。
for (int v = 0; v < height; ++v)
{
float vp = (float)v / (float)height;
float sinTheta = Mathf.Sin(Mathf.PI * (float)(v + 0.5f) / (float)height);
for (int u = 0; u < width; ++u)
{
float y = pixels[u + v * width].Y();
float distribution = y;
if (distribution == 0)
distribution = float.Epsilon;
distributions[u + v * width] = distribution * sinTheta;
}
}概率密度函数转换推导
前面说了这么多，我们最后的目的是采样环境光贴图的uv来构建光照方向，然后计算出p(ω)来做蒙特卡洛计算，ω可以通过θ和φ构造。
然而我们的分布是通过θ和φ构造的，所以必须做一个分布的转换满足(θ, φ) -> (u, v)。
以下参考pbrtv3。
首先构建映射函数：
由于分布的概率不受偏移的影响，所以有：
根据概率密度的转换函数：
?这里设x是(u, v)，y是(θ, φ)，Jg(u,v) = 2π2，最后得出分布函数的转换：
p(ω) = p(θ, φ) / sinθ，代入最后得到：
?代码如下：
float3 ImportanceSampleEnviromentLight(float2 u, out float pdf, out float3 wi)
{
float mapPdf = 0;
pdf = 0;
wi = 0;
float2 uv = Sample2DContinuous(u, mapPdf);
if (mapPdf == 0)
return float3(0, 0, 0);
// Convert infinite light sample point to direction
float theta = uv.y * PI;
float phi = uv.x * 2 * PI;
float cosTheta = cos(theta);
float sinTheta = sin(theta);
float sinPhi = sin(phi);
float cosPhi = cos(phi);
wi = float3(sinTheta * cosPhi, sinTheta * sinPhi, cosTheta);
// Compute PDF for sampled infinite light direction
pdf = mapPdf / (2 * PI * PI * sinTheta);
if (sinTheta == 0)
{
pdf = 0;
return 0;
}
return _LatitudeLongitudeMap.SampleLevel(_LatitudeLongitudeMap_linear_repeat_sampler, uv, 0) * 100;
}