第三章关系数据库设计理论

3.5 BC范式和第三范式

分解到 BCNF：左右圆法

寻找违反BCNF的非平凡FD A→B ，找到 ${ A \}^+$ ，放到该FD的右端。

然后将关系模式直接分解为两部分：
1. 一部分为该FD的左端A和右端属性集
2. 一部分为该FD的左端A和该FD未包括的所有属性
如图：

例题：

P51 例3.19 $ {title, year, studioName, president, presAddr} $，

其中，有FD:

? $t i t l e, y e a r \to s t u d i o n a m e$

? $s t u d i o n a m e \to p r e s i d e n t$

? $p r e s i d e n t \to p r e s A d d r$

解：

以按照违反BCNF的 $\to president$ 来分解为例：

计算闭包，得出唯一键是 ${ title, year \}$ 。

则 ${R_1 = \{\underline{title,year},studioname\}}$

${R_2 = \{\underline{studioname}, president,presAddr\}}$

R2 不符合BC范式，故再分解（按照违反BCNF的基本集 $\to presAddr$ ）。

得到 ${R_3 = \{president, presAddr\}}$

${R_4 = \{president, studioname\}}$

最终结果即为 R1, R3, R4。

在关系 R 中，当给定某个属性集合的值时，存在有一组与关系中所有其他属性值相独立的属性值。（以 $R (A, B, C)$ 为例）

独立：不能相互决定，相互之间的取值包含所有组合。
若给定 R 中属于 A 的各属性的值，
则存在一个属性集 B，B 的值独立于 R 中既不属于A也不属于B的属性集合（也就是C）的值，
则 R 中 $\text{MVD} A_1,A_2,..,A_n→→ B_1,B_2,..,B_m$ 成立，称 $A_1,A_2,..,A_n$ 多值决定 $B_1,B_2,..,B_m$ 。
对于 R 中每个在 A 上取值相同的元组对 t 和 u，能找到满足下列条件的元组 v：
在 A 属性上的取值与 t 和 u 相同；
在 B 属性上的取值与 t 相同；
在 AB 外的其他所有属性上取值与 u 相同。

如图：
对定义的理解
1. 设 U 是关系模式R的属性集合，X，Y，Z是 U 的子集，并且 Z = U - X - Y。
  R中存在多值依赖 X→→Y ，
  当且仅当 对于 R 中的任一关系 r ，给定一对（x，z）值，有一组 Y 值，这组 Y 值仅仅决定于 x 值而与 z 值无关。
1. 在 R(U) 的任一关系 r 中，如果存在元组 t，s 使得 t[X] = s[X]，那么就必然存在元组 w，v ∈ r，(w，v可以与s，t相同)，使得 w[X] = v[X] = t[X]，而 w[Y] = t[Y]，w[Z] = s[Z]，v[Y] = s[Y]，v[Z] = t[Z]（即交换s，t元组的Y值所得的两个新元组必在 r 中），则 Y 多值依赖于 X，记为 X→→Y。这里，X，Y是U的子集，Z = U - X - Y。
  
  如图：

函数依赖（FD）是多值依赖（MVD）的特殊情况。

这意味着，如果 $A_1A_2...A_n \rightarrow B_1B_2...B_m$ ，则 $A_1A_2...A_n \rightarrow \rightarrow B_1B_2...B_m$ 也成立。

证明见 PPT

定义：
- 在 R 中，若任一非平凡MVD 成立时，都有左边是超键的结论，则 R 属于第四范式。
- 第四范式是 BCNF 的特例，满足 4NF 则满足 BCNF，违反 BCNF 则违反 4NF。
  
  (4NF 包含于 BCNF)
  
  证明见 PPT
分解到第四范式

若多值依赖左边不是超键，则违反了4NF条件，运用投影分解方法将对应的关系 R 分解为两个关系：
- 含有 A 和 B 的全部属性
- 含有 A 的全部属性和不在 AB 中的全部属性
（与BCNF中的左右圆分解方法非常相似）
范式之间的联系
- 3NF：任何非平凡函数依赖的左侧是超键或右侧是主属性；
- BCNF：任何非平凡函数依赖的左侧是超键；
- 4NF：任何非平凡多值依赖的左侧是超键；