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Contents
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§01 数学原理
1.1 基本概念
1.1.1 邻域
复平面上以 z 0 z_0 z0? 为中心， δ \delta δ （任意正数）为半径的圆： ∣ z ? z 0 ∣ < δ \left| {z - z_0 } \right| < \delta ∣z?z0?∣<δ 内部的点的集合称为 z 0 z_0 z0? 的邻域。对于 0 < ∣ z ? z 0 ∣ < δ 0 < \left| {z - z_0 } \right| < \delta 0<∣z?z0?∣<δ 所确定的点集合称为 z 0 z_0 z0? 的去心邻域。
复平面上的无穷远点 ∞ \infty ∞ 是一个点，它的邻域被定义成 ∣ z ∣ > M \left| z \right| > M ∣z∣>M 对应的点集合；去心邻域并定位为 M < ∣ z ∣ < + ∞ M < \left| z \right| < + \infty M<∣z∣<+∞ 确定的点集合。
1.1.2 开集与闭集
（1）内点
??设 G G G 是平面中点集合， z 0 z_0 z0? 为 G G G 中的任意一点。如果存在 z 0 z_0 z0? 的一个邻域都在 G G G 中，则称 z 0 z_0 z0? 为 G G G 的内点。
（2）开集
??如果 G G G 中所有的点都是它的内点，则称 G G G 为开集。
（3）区域
??平面点集 D D D 满足下面两个条件：
- D D D 是一个开集；
- D D D 是连通的，即 D D D 中任何两点都可以用完全属于 D D D 的折线连接起来；
??则点集 D D D 被称为一个“区域”。
▲ 图1.1.1 邻域、区域、边界的示意图
（4）边界
??如果 P P P 不属于区域 D D D ，但在 P P P 的任意小的邻域内总包含有 D D D 中的点，这样的 P P P 称谓 D D D 的边界点。 D D D 所有边界点组成 D D D 的边界。
??下图显示了区域 D D D 的边界，包括有几条曲线和一些孤立点组成。
▲ 图1.1.2 区域的边界示意图
（5）闭区域
??区域 D D D 与它的边界一起构成闭区域，简称闭域。
1.1.3 有界
如果区域 D D D 包含在以原点为中心的圆里面，即存在 M > 0 M > 0 M>0 ，使得区域 D D D 中的每个点 z ∈ D z \in D z∈D 都满足 ∣ z ∣ < M \left| z \right| < M ∣z∣<M ，则区域 D D D 被称为“有界”，否则称为“无界”。
1.1.4 复平面上的曲线
（1）连续曲线
??如果 x ( t ) , y ( t ) x\left( t \right),y\left( t \right) x(t),y(t) 是两个连续的实变函数，那么 z = x ( t ) + i y ( t ) , ???? ( a ≤ t ≤ b ) z = x\left( t \right) + iy\left( t \right),\,\,\,\,\left( {a \le t \le b} \right) z=x(t)+iy(t),(a≤t≤b) 代表复平面上的连续曲线。
（2）光滑曲线
??如果 x ′ ( t ) , y ′ ( t ) x'\left( t \right),y'\left( t \right) x′(t),y′(t) 存在且连续，并对 t t t 每一个值都有 [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 ≠ 0 \left[ {x'\left( t \right)} \right]^2 + \left[ {y'\left( t \right)} \right]^2 \ne 0 [x′(t)]2+[y′(t)]2?=0 那么这个曲线被称为光滑的。有几段依次相连的光滑曲线组成的曲线称为按段光滑曲线。
（3）简单曲线
??对于连续曲线 C : z = z ( t ) , ( a ≤ t ≤ b ) C:z = z\left( t \right),\left( {a \le t \le b} \right) C:z=z(t),(a≤t≤b) ，对于任意两个参量 t 1 , t 2 ∈ ( a , b ) t_1 ,t_2 \in \left( {a,b} \right) t1?,t2?∈(a,b) ， t 1 ≠ t 2 t_1 \ne t_2 t1??=t2? ，但有 z ( t 1 ) = z ( t 2 ) z\left( {t_1 } \right) = z\left( {t_2 } \right) z(t1?)=z(t2?) ，则称 z ( t 1 ) z\left( {t_1 } \right) z(t1?) 为曲线 C C C 的重点，也就是曲线与自身相交的点。
??如果连续曲线 C C C 没有重点，则被称为简单曲线，或者若尔当（Jardan）曲线。如果 z ( a ) = z ( b ) z\left( a \right) = z\left( b \right) z(a)=z(b) ，即曲线首尾相连则称曲线 C C C 为简单闭曲线。
▲ 图1.1.3 连续曲线的简单与不简单、闭合与不闭合示意图
1.1.5 连通域
（1）定义
??复平面上一个区域 B B B ，如果在其中做任一条简单闭曲线，曲线内部总属于 B B B ，则称 B B B 为单连通域。如果 B B B 不是单连通域，则称为多连通域。
▲ 图1.1.4 多连通域、单连通域示意图
??一条简单闭曲线内部就是单连通域。
（2）属性
??如果区域 B B B 是单连通域，那么属于 B B B 中的任一条单闭曲线，在 B B B 内可以经过连续变形缩成一点。
??多连通域不具有这种特性。
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§02 应用举例
2.1 圆环域
由两个圆周 ∣ z ? z 0 ∣ = r 1 \left| {z - z_0 } \right| = r_1 ∣z?z0?∣=r1? 和 ∣ z ? z 0 ∣ = r 2 \left| {z - z_0 } \right| = r_2 ∣z?z0?∣=r2? 组成的区域被称为圆环域。
??当 0 < r 1 < r 2 < + ∞ 0 < r_1 < r_2 < + \infty 0<r1?<r2?<+∞ 时，圆环域是 一个有界区域。
??如果圆环域只有一个内环边界，即 0 < r 1 < + ∞ , ?? r 2 = + ∞ 0 < r_1 < + \infty ,\,\,r_2 = + \infty 0<r1?<+∞,r2?=+∞ ，则表示一个圆外区域，这是一个无界区域。
??如果圆环域只有一个外环边界， 即 r 1 = 0 , ?? 0 < r 2 < + ∞ r_1 = 0,\,\,0 < r_2 < + \infty r1?=0,0<r2?<+∞ ，则表示一个圆内区域。这是一个有界区域。
▲ 图2.1.1 圆环域、圆内区域、圆外区域示意图
2.2 条状区域
??如果区域是由两条平行与虚轴的边界线组成，则成为条状区域。
??下图给出了三种条状区域：
- 位于直线 R e ( z ) = x 1 {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = x_1 Re(z)=x1? 左边区域；
- 位于直线两个 R e ( z ) = x 2 , R e ( z ) = x 3 {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = x_2 ,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = x_3 Re(z)=x2?,Re(z)=x3? 之间的区域；
- 位于直线 R e ( z ) = x 4 {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) = x_4 Re(z)=x4? 右边区域；
??这些区域都是连通域，且都是无界区域。
▲ 图2.2.1 条状区域示意图
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§03 信号与系统
??在信号与系统中，区域的概念主要应用在拉普拉斯变换、z变换对应的收敛域的描述中。对于Laplace变换，对应的收敛域为条状区域；对于z变换，收敛域为圆环区域。
??存在不同的信号，它们对应的Laplace变换（z变换）的表达式相同，仅仅区别在收敛域不同。
??对于线性时不变系统的系统函数，如果收敛域包含虚轴（单位圆），则系统是稳定的，否则系统就不稳定。
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§04 作业练习
4.1 复平面上轨迹和区域
4.1.1 复平面上的轨迹
??指出下列各题中点 z z z 的轨迹或者所在范围，并作图。
( 1 ) ???? ∣ z ? 5 ∣ = 6 ; ????????????????????????? ( 2 ) ???? ∣ z + 2 i ∣ ≥ 1 ; \left( 1 \right)\,\,\,\,\left| {z - 5} \right| = 6;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,\left| {z + 2i} \right| \ge 1; (1)∣z?5∣=6;(2)∣z+2i∣≥1; ( 3 ) ???? R e ( z + 2 ) = ? 1 ; ???????????? ( 4 ) ???? R e ( i ? z ˉ ) = 3 ; \left( 3 \right)\,\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {z + 2} \right) = - 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,\,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {i \cdot \bar z} \right) = 3; (3)Re(z+2)=?1;(4)Re(i?zˉ)=3; ( 5 ) ???? ∣ z + i ∣ = ∣ z ? i ∣ ; ????????????????? ( 6 ) ???? ∣ z + 3 ∣ + ∣ z + 1 ∣ = 4 ; \left( 5 \right)\,\,\,\,\left| {z + i} \right| = \left| {z - i} \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\,\,\,\,\left| {z + 3} \right| + \left| {z + 1} \right| = 4; (5)∣z+i∣=∣z?i∣;(6)∣z+3∣+∣z+1∣=4; ( 7 ) ???? I m ( z ) ≤ 2 ; ?????????????????????? ( 8 ) ???? ∣ z ? 3 z ? 2 ∣ ≥ 1 ; \left( 7 \right)\,\,\,\,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) \le 2;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 8 \right)\,\,\,\,\left| {{{z - 3} \over {z - 2}}} \right| \ge 1; (7)Im(z)≤2;(8)∣∣∣∣?z?2z?3?∣∣∣∣?≥1; ( 9 ) ???? 0 < arg ? z < π ; ???????????????? ( 10 ) ???? arg ? ( z ? i ) = π 4 . \left( 9 \right)\,\,\,\,0 < \arg z < \pi ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {10} \right)\,\,\,\,\arg \left( {z - i} \right) = {\pi \over 4}. (9)0<argz<π;(10)arg(z?i)=4π?.
4.1.2 描述区域
??描出下列不等式所确定的区域，或者闭区域， 并指明它是有界的还是无解的，单连通，还是多连通。
( 1 ) ???? I m ( z ) > 0 ; ??????????????????????? ( 2 ) ???? ∣ z ? 1 ∣ > 4 ; \left( 1 \right)\,\,\,\,{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) > 0;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,\left| {z - 1} \right| > 4; (1)Im(z)>0;(2)∣z?1∣>4; ( 3 ) ???? 0 < R e ( z ) < 1 ; ??????????????? ( 4 ) ???? 2 ≤ ∣ z ∣ ≤ 3 ; \left( 3 \right)\,\,\,\,0 < {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) < 1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,\,2 \le \left| z \right| \le 3; (3)0<Re(z)<1;(4)2≤∣z∣≤3; ( 5 ) ???? ∣ z ? 1 ∣ < ∣ z + 3 ∣ ; ??????????????? ( 6 ) ???? ? 1 < arg ? z < ? 1 + π ; \left( 5 \right)\,\,\,\,\left| {z - 1} \right| < \left| {z + 3} \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\,\,\,\, - 1 < \arg z < - 1 + \pi ; (5)∣z?1∣<∣z+3∣;(6)?1<argz<?1+π; ( 7 ) ???? ∣ z ? 1 ∣ < 4 ∣ z + 1 ∣ ; ???????????? ( 8 ) ???? ∣ z ? 2 ∣ + ∣ z + 2 ∣ ≤ 6 ; \left( 7 \right)\,\,\,\,\left| {z - 1} \right| < 4\left| {z + 1} \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 8 \right)\,\,\,\,\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| \le 6; (7)∣z?1∣<4∣z+1∣;(8)∣z?2∣+∣z+2∣≤6; ( 9 ) ???? ∣ z ? 2 ∣ ? ∣ z + 2 ∣ > 1 ; ??????? ( 10 ) ???? z z ˉ ? ( 2 + i ) z ? ( 2 ? i ) ≤ 4. \left( 9 \right)\,\,\,\,\left| {z - 2} \right| - \left| {z + 2} \right| > 1;\,\,\,\,\,\,\,\left( {10} \right)\,\,\,\,z\bar z - \left( {2 + i} \right)z - \left( {2 - i} \right) \le 4. (9)∣z?2∣?∣z+2∣>1;(10)zzˉ?(2+i)z?(2?i)≤4.
4.1.3 证明题
??证明复平面上的圆周方程可以写成： z z ˉ + a z ˉ + a ˉ z + c = 0 z\bar z + a\bar z + \bar az + c = 0 zzˉ+azˉ+aˉz+c=0 其中 a a a 为复常量， c c c 为实常量。
4.1.4 曲线坐标方程
??将下列方程（ t t t 为实数参数）给出的曲线用 一个实直角坐标方程表示：
??（1）
z
=
t
(
1
+
i
)
z = t\left( {1 + i} \right)
z=t(1+i)
??（2）
z
=
a
cos
?
t
+
i
b
sin
?
t
,
??
(
a
,
b
为
实
常
数
)
z = a\cos t + ib\sin t,\,\,\left( {a,b为实常数} \right)
z=acost+ibsint,(a,b为实常数)
??（3）
z
=
t
+
i
t
z = t + {i \over t}
z=t+ti?
??（4）
z
=
t
2
+
i
t
2
z = t^2 + {i \over {t^2 }}
z=t2+t2i?
??（5）
z
=
a
?
c
h
(
t
)
+
i
b
?
c
h
(
t
)
,
??
(
a
,
b
为
实
常
数
)
z = a \cdot ch\left( t \right) + ib \cdot ch\left( t \right),\,\,\left( {a,b为实常数} \right)
z=a?ch(t)+ib?ch(t),(a,b为实常数)
??（6）
z
=
a
e
i
t
+
b
e
?
i
t
z = ae^{it} + be^{ - it}
z=aeit+be?it
??（7）
z
=
e
α
t
,
??
(
α
=
a
+
b
i
)
z = e^{\alpha t} ,\,\,\left( {\alpha = a + bi} \right)
z=eαt,(α=a+bi)
4.2 计算机绘制分形图像
??利用MATLAB，或者Python绘制在复平面上的Mandelbrot集合，或者 Julia集合 。
▲ 图4.2.1 Julia集合图像
■ 相关文献链接:
● 相关图表链接:
- 图1.1.1 邻域、区域、边界的示意图
- 图1.1.2 区域的边界示意图
- 图1.1.3 连续曲线的简单与不简单、闭合与不闭合示意图
- 图1.1.4 多连通域、单连通域示意图
- 图2.1.1 圆环域、圆内区域、圆外区域示意图
- 图2.2.1 条状区域示意图
- 图4.2.1 Julia集合图像
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