Codeforces-1672F1: Array Shuffling

题目链接：Codeforces-1672F1

题目

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样例描述

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题目大意

? 给定一个长度为 $n$ 数组 $a$ 。现在可以对数组做一个操作，找到两个下标，并交换对应的两个元素。定义一个数组 $b$ 的伤心值是将 $b$ 转换为 $a$ 需要的最小操作数量。目标是找到数组 $b$ ，使得其伤心值最大。

题目解析

? 我们可以将某个交换序列看作图论中的一个个的环，图的顶点代表位置，边代表赋值。例如 $i_1 \rightarrow i_2,i_2 \rightarrow i_3,\cdots, i_{k-1}\rightarrow i_k,i_k \rightarrow i_1$ ，就是一个环，设变换后的数组为 $a^{'}$ ，上述代表变换 $a'_{i_1}=a_{i_2},\cdots, a'_{i_k}=a_{i_1}$ 等等，按这个顺序进行赋值，就完成了我们想要的交换。因为这种交换本质上属于重排序，而每个元素都会有唯一的位置前往（出度为 $1$ ），空出来的位置也会有唯一的元素进入（入度为 $1$ ），因此整个交换序列可以表达为多个环（也可以从某一个元素开始，向它最后的位置画一个箭头，再从那个位置原本元素开始重复画箭头，最后也会发现形成一个环）。
? 设我们按上段对一个交换序列建模为图，设有 $C C$ 个环（即 $C C$ 个联通分量）。我们很容易发现若一个环长度为 $X$ ，那么就会对应 $X ? 1$ 次交换，那么总共的交换次数就变成边的总长度（可以将每个点对应一个边，共 $n$ ）减去环的数量，即 $n ? C C$ 。这样，我们将我们的目标变为，构造交换序列，让图中环的数量尽可能少。
? 在构造使得图中环数量尽可能少之前，要确定我们数环的方式（即我们应该统计两个序列最少的交换次数）。一个重要的点在于相同的值的不同位置不应该出现在同一个环中，因为若有两个值相同，我们可以将一个交换环变成两个交换环，设 $a_z=a_1$ ，更直观的例子如下图所示，两种交换不改变最终结果（但下图左会交换6次，下图右只需交换5次，因此实际应该是需要交换5次的）：
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? 设数组中出现最多的元素 $T_1$ 的个数为 $c n t$ ，于是，环的数量应该满足 $\ge cnt$ ，基于此，我们知道 $\le n - cnt$ 。所以 $n ? c n t$ 可以看做是我们所求的一个上界。当整个图中有一个环，里面的结点都没有 $T_1$ 元素时，达不到上界，否则均达到上界。因为若 $\lt n-cnt$ ，那么联通分量的数量必定比 $T_1$ 的个数大，就会存在没有 $T_1$ 的环，反之亦然，若存在没有 $T_1$ 的环，那么可以支持的联通分量数量必定比 $c n t$ 多（因为一个环不会出现两个 $T_1$ ）。
? 到这里，答案就出现了，我们尽可能多地构造全都包含一个 $T_1$ 的交换环，最终就能得到需要交换 $N ? c n t$ 次的序列 $B$ 了。
? 有多种方法构造这样的交换环，较为简单的一种是平移法造环。先对 $a$ 数组进行排序，之后将某一元素 $a_i$ 指向 $a_{(i + cnt) \% n}$ ，这样，对于 $T_1$ 元素，会指向非 $T_1$ 元素，对于其它元素也会指向值不同的元素，且每个元素只出现在一个环中，最终会有 $c n t$ 个元素指向 $T_1$ （形成交换环）。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2e5 + 7;
int a[maxn], cnt[maxn], b[maxn];
vector<int> vec[maxn];

int main() {
    
    int t, n;
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            cnt[i] = 0, vec[i].clear();
        int mx = 0;
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            cin >> a[i], b[i]=a[i], ++cnt[a[i]];
        for(int i=1; i<=n; ++i)
            mx = max(mx, cnt[i]);
        sort(b+1, b+n+1);
        for(int i=1; i<=n; ++i) 
            vec[b[i]].push_back(b[(i + mx - 1) % n + 1]);
        for(int i=1; i<=n; vec[a[i]].pop_back(), ++i)
            cout << vec[a[i]].back() << (i==n?'\n':' ');
    }
    return 0;
}