[游戏开发]Unity/C# 舍入的五种写法

舍入的五种写法

0. 简介

舍入是一个数学概念，一种修约规则。

在日常的生活中，我们为了精简格式，记忆方便，常常会使用四舍五入的方法来去掉零头或凑个整数来解决此类问题。

在游戏中开发中，舍入也是数值计算中重要的一环。只有使用正确的舍入规则，才能配合数值策划进行更合理的数值设计与计算，让玩家在尽量无感的情况下也能认同游戏数值的合理性。

然而在使用Unity进行开发时，我们却发现Unity中Range的结果与日常使用的四舍五入结果并不相同。

这是因为除了四舍五入的舍入方法外还有其他不同的舍入规则、在数学中也有其独特的定义。

本文将从Unity引擎使用的C#语言入手，讲解舍入的5种写法。

0.1 舍入定义

在对位数较多的数进行计算时，为了方便或由于受到计算工具的限制，需要用位数较少的数来代替（有时按照精确度的要求也不必对全部数字进行计算）。

于是，就要按一定的规则去掉一个数的某个有效数字以后的数字，并对剩余部分进行调整，使得尽可能接近于原来那个数。这种过程称为舍入。

0.2 舍入误差定义

舍入误差是指运算得到的近似值和精确值之间的差异。

比如当用有限位数的浮点数来表示实数的时候（理论上存在无限位数的浮点数）就会产生舍入误差。

舍入误差是量化误差的一种形式。

如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差，在某些情况下，误差会随着运算次数增加而积累得很大，最终得出没有意义的运算结果。

舍入误差举例：

增加数字位数可以减少可能会产生的舍入误差，但是位数是有限的，在表示无限浮点数时仍然会产生误差。

在用常规方法表示浮点数的情况下，这种误差是不可避免的，但是可以通过设置警戒位来减小。

多步舍入会增加舍入误差，例如数字9.945309在输入时被舍入到小数点后两位 （9.95），显示时再舍入到小数点后一位（10.0），舍入误差是0.054691。如果原来的数只经过一步舍入到小数点后一位（9.9），舍入误差仅为0.045309。

1 就近舍入

舍入到最接近的，指定精度的原始数字。

对于正数：

• 如果下一位数字从 0 到 4，则最接近的数字为负无穷大。

• 如果下一位数字从 6 到 9，则最接近的数字是正无穷大。

对于负数：

• 如果下一个数字从 0 到 4，则最接近的数字为正无穷大。

• 如果下一位数字从 6 到 9，则最接近的数字为负无穷大。

那么真正有争议的数字就只有5了，所以就近舍入的两种舍入规则，就是针对对数字为5时制定的舍入规则。

1.1 远零舍入 Away From Zero

1.1.1 舍入规则

规则：当数字在两个数字之间的中间时，它将舍入到离零的最接近的数字。

远零舍入就是我们所熟悉的“四舍五入”

1.2 近偶舍入 To Even

1.2.1 舍入规则

规则：当数字在两个数字之间的中间时，它将舍入到最接近的偶数。

近偶舍入也叫做"银行家舍入"，或者叫"四舍六入五留双"。

提到四舍五入，处在我们这个年龄层的人应该都很清楚，因为我们当时的小学教育灌输的就是四舍五入。但是如果提到银行家舍入，也许很多朋友会一下子愣住。银行家舍入，英文名为Banker’s round，它实现的舍入效果是“四舍六入五取偶”。

银行家舍入是IEEE规定的小数舍入标准之一，也是IEEE目前规定中最优秀的舍入方法，因此所有符合 IEEE 标准的语言都应该实现这种算法，.NET平台与Unity也不例外。

1.2.2 近偶舍入和远零舍入比较

首先我们比较它们的规则：

• 四舍五入

  • 当舍去位的数值大于等于5时，在舍去该位的同时向前位进一
  • 当舍去位的数值小于5时，则直接舍去该位

• 近偶舍入

• 所谓银行家舍入法，其实质是一种四舍六入五取偶（又称四舍六入五留双）法。

• 其规则是：

  • 当舍去位的数值小于5时，直接舍去该位；
  • 当舍去位的数值大于等于6时，在舍去该位的同时向前位进一
  • 当舍去位的数值等于5时
    • 如果前位数值为奇，则在舍去该位的同时向前位进一
    • 如果前位数值为偶，则直接舍去该位。

例如：我们对2.335，2.345，2.364，2.366，2.367分别进行四舍五入和银行家舍入

怎么比较它们孰优孰劣呢？

对于1，2，3，4，5，6，7，8，9一系列数，它们出现的随机可能性几乎一样的。

所以如果用四舍五入进行舍取，那么5左右两面奇偶的平衡性就不好，5到9都进位，而1到4都舍去。

如果利用银行家算法，1到4都舍去，6到9都进位，各自四位，然后把5分成两种情况，前位如果是奇数就取偶，如果是偶数就保留，我们发现5前面和5后面奇偶数的个数刚好一样。

当数值精度越大，舍5个概率就越低，无限趋近于0，也就是说，当数值精度越高，该算法越像“四舍五入”

现实情况就是数值的精度不可能无限大，存款利息率一般为百分之零点几，而数值精度一般4位，5后存在非0数的概率相对较小，所以趋近于1/2舍5，1/2进5

所以与四舍五入比较，此时的银行家舍入的公平性更强。

资本家小案例：

我们知道银行的盈利渠道主要是利息差，从储户手里收拢资金，然后放贷出去，其间的利息差额便是所获得的利润。对一个银行来说，对付给储户的利息的计算非常频繁。

场景介绍完毕，我们回过头来看四舍五入，小于5的数字被舍去，大于等于5的数字进位加一，由于所有位上的数字都是自然计算出来的，按照概率计算可知，被舍入的数字均匀分布在0到9之间，下面以10笔存款利息计算作为模型，以银行家的身份来思考这个算法：

（1）四舍：舍弃的数值：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004，因为是舍弃，对银行家来说，就是不用付款给储户的，那每舍弃一个数字就会赚取相应的金额：0.000、0.001、0.002、0.003、0.004。

（2）五入：进位的数值：0.005、0.006、0.007、0.008、0.009，因为是进位，对银行家来说，每进一位就会多付款给储户，也就是亏损了，那亏损部分就是其对应的10进制补数：0.005、0.004、0.003、0.002、0.001

因为舍弃和进位的数字是在0到9之间均匀分布的，所以对于银行家来说，每10笔存款的利息因采用四舍五入而获得的盈利是：

0.000 + 0.001 + 0.002 + 0.003 + 0.004 - 0.005 - 0.004 - 0.003 - 0.002 - 0.001 = -0.005

也就是说，每10笔的利息计算中就亏损0.005元，即每笔利息计算损失0.0005元

这个算法误差是由美国银行家发现的，并且对此提出了一个修正算法，就叫作银行家舍入

“银行家舍入”是IEEE754标准的推荐舍入标准。

因此所有符合 IEEE标准 的语言都是采用这一算法的，Unity与C#也不例外。

这一方式跟通常的四舍五入相比，平均数方面更能保持原有数据的特性。

2 定向舍入

定向舍入则不在乎精确位的下一位的数字是什么，它直接规定向某个方向进行舍入。

也就是说定向舍入的区别主要就是在舍入方向上。

数轴上有三个方向分别是：

• +∞ 正无穷

• 0 零

• -∞ 负无穷

因此定向舍入也有三种规则，分别对应这三个方向。

2.1 向上舍入 To Positive Infinity

规则：向上定向舍入，结果最接近且不小于无限精确结果

2.2 向下舍入 To Negative Infinity

规则：向下定向舍入，结果最接近且不大于无限精确结果。

2.3 向零舍入 To Zero

规则：向零舍入的策略，结果最接近且数量级不大于无限精确结果。

3. 整理总结表

4. 在Unity/C#中使用这五种舍入

在使用Unity与C#进行游戏开发的过程中，一般会使用Round这个类进行舍入操作。而这个类实际上是来自不同命名空间的两个类：

一个来自C# 的 System.Math.Round，另一个则来自Unity引擎的UnityEngine.Mathf.Round。

4.1 UnityEngine.Mathf.Round

我们先进Unity的看一下，反编译结果如下：

可以看到Unity的Mathf中只是把C#的代码封装了一层，本质上还是C# 的 Math。

而且Mathf.Round只能取整，并不能按精度取舍。

4.2 System.Math.Round

再来看看C#的Round，反编译结果如下:

官方文档对其的说明如下：

可以看出C#的Round就有更多的可操作空间了，其中的参数：MidpointRounding，就是我们前面说到的五种舍入规则的枚举。

而不传这个参数的方法将默认使用近偶舍入的舍入规则。

也就是说使用Unity Mathf.Round进行取整会默认使用近偶舍入规则。

这也就解释了最开始我们的疑问，为什么有时使用Unity进行取整会和四舍五入的结果不同。

MidpointRounding枚举的官方文档说明如下：

代码案例：

decimal result;

// 正数情况

result = Math.Round(3.45m, 1, MidpointRounding.ToEven);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.45m}, 1, MidpointRounding.ToEven)");
result = Math.Round(3.45m, 1, MidpointRounding.AwayFromZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.45m}, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)");
result = Math.Round(3.47m, 1, MidpointRounding.ToZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({3.47m}, 1, MidpointRounding.ToZero)\n");

// 负数情况

result = Math.Round(-3.45m, 1, MidpointRounding.ToEven);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.45m}, 1, MidpointRounding.ToEven)");
result = Math.Round(-3.45m, 1, MidpointRounding.AwayFromZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.45m}, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)");
result = Math.Round(-3.47m, 1, MidpointRounding.ToZero);
Console.WriteLine($"{result} = Math.Round({-3.47m}, 1, MidpointRounding.ToZero)\n");

/*
结果输出：

3.4 = Math.Round(3.45, 1, MidpointRounding.ToEven)
3.5 = Math.Round(3.45, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)
3.4 = Math.Round(3.47, 1, MidpointRounding.ToZero)

-3.4 = Math.Round(-3.45, 1, MidpointRounding.ToEven)
-3.5 = Math.Round(-3.45, 1, MidpointRounding.AwayFromZero)
-3.4 = Math.Round(-3.47, 1, MidpointRounding.ToZero)
*/

5. 参考文献

MidpointRounding 枚举 (System) | Microsoft Docs

Math.Round 方法 (System) | Microsoft Docs

舍入_百度百科 (baidu.com)

B站同步讲解视频:
https://www.bilibili.com/video/BV1tV4y1p7aZ/